三个有关Ceva圆和九点圆交点的问题
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最近做了几个Ceva圆和九点圆相关的题目,在这里整理一下发出来。要处理Ceva圆和九点圆的交点,一套重要的工具就是Poncelet点和Fontene定理。先不加证明地给出一些定义和定理。
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最近做了几个Ceva圆和九点圆相关的题目,在这里整理一下发出来。要处理Ceva圆和九点圆的交点,一套重要的工具就是Poncelet点和Fontene定理。先不加证明地给出一些定义和定理。
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前天叶中豪老师在“几何大家玩”微信群里发了如下命题:
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去年6月14号,《我们爱几何》微信公众号推送了潘成华老师的一个题目。
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本文的主要目的是简要介绍一个几何变换$\mbox{cevamul}$,也就是Ceva point的基本内容,并利用其证明Schiffler点$X_{21}$的一个基本性质.
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本文是2022.01.12-2022.06.09期间我与马玮含、杨朝栋、张睿杰组织讨论班读Daniel Huybrechts的《Complex Geometry: An Introduction》时写的习题解答(不包含附录)。
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网友“lf°wjo◆ ”在2020年7月19号在一个QQ群里发了如下问题.
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本文主要目的是为了介绍Xuming Liang和Ivan Zelich在https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2015/10/1.pdf这篇文章中得到的一些结果(并不会介绍证明,感兴趣的读者可以自己点进链接去看),并简要介绍一些这些结果的应用。
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纯几何吧4409是如下问题:
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好长时间没更新了,主要原因在于我上周抗原阳了(
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最近做了几个Ceva圆和九点圆相关的题目,在这里整理一下发出来。要处理Ceva圆和九点圆的交点,一套重要的工具就是Poncelet点和Fontene定理。先不加证明地给出一些定义和定理。
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这篇文章很早就写出来了,但是到现在才发在了数学新星网上。
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前阵子豪神旧事重提,把网友zyckk4写的纯几何吧1953中的59楼的结论拿出来问是否可以推广。先看一下原题。
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昨天在《几何大家玩》微信群里,lingluo提到“Lemoine线与三角形三边围成的完全四边形的密克点是$X_{110}$(Euler线的逆Steiner点)”是熟知的,insane随即反驳他不知道这事,我想了想发现我以前甚至还把这东西推广了(说明in没认真看我知乎,警告一次)。
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纯几何吧4409是如下问题:
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本文主要目的是为了介绍Xuming Liang和Ivan Zelich在https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2015/10/1.pdf这篇文章中得到的一些结果(并不会介绍证明,感兴趣的读者可以自己点进链接去看),并简要介绍一些这些结果的应用。
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众所周知,对任意一个结合代数,我们可以通过在其上定义Lie括号$[x,y]=xy-yx$的方式生成一个Lie代数。反过来,是不是所有Lie代数都可以通过这种方式生成呢?答案是否定的,事实上我们可以举出一个反例。
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本文是本学期数学前沿问题选讲的小论文。
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前阵子武江铮问了我这么一个比较酷炫的问题.
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昨天发完公众号后,我发现解答里还有一些瑕疵,而且可以大大简化,也可以不那么依赖于题目的数据(比如诸多余弦的计算),这里一并修改一下,原文也会保留,以显示我的第一想法。
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今天是2022年CMO的第一天考试日,P2是一个沾一点平面几何的题,拿出来写一下。
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2022.07.21《我们爱几何》问题是由严君啸命制的,问题如下:
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刚刚在贴吧看到了今天的测试题,平几放在了第二题,是个截搭题,甚至不太需要画图,只要导角就可以了,也可以很容易地推广。不过知足常乐,国集考试里能提出Simson线和九点圆的概念感觉已经很不易了。题目如下:
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昨天在《几何大家玩》微信群里,lingluo提到“Lemoine线与三角形三边围成的完全四边形的密克点是$X_{110}$(Euler线的逆Steiner点)”是熟知的,insane随即反驳他不知道这事,我想了想发现我以前甚至还把这东西推广了(说明in没认真看我知乎,警告一次)。
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今天早上看到杨丕业老师的公众号更新了2020伊朗TST的翻译,正好武神也在某群里问了一嘴关于第二轮考试的第三题的做法,于是一时手痒便试着做了做这题,题目很长,叙述很复杂,图形有点丑陋,结论也比较难下手,不过好在里面有一个我熟悉的构型,所以最后还是弄出来了。先看一下原题:
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最近看到人大附中的几何群里有人问了一个问题:
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最近比较忙,所以也没怎么更新,正好这两天是集训队考试,我就抽空做了一下今年集训队的平面几何题。第一题是P1,一个Brocard点相关的问题,大家的做法五花八门,我也就不再献丑,反倒是今年第二个题,也就是P8,是一个截搭的三角形几何问题,还是有些值得说道的地方。(不知道为何,这两年的TST级别几何题都有这种九点圆相关的截搭,不过今年截搭得比去年略显生硬,(完全不负责任地瞎猜)难道是牺牲一些美观性给大伙送一点分?)在数之谜小程序上已经有人给了一个相对比较“纯”几何的办法(当然,在考场上兹要能做出来就行,不必过分追求所谓“美感”),不过其实也是改编于我和forever豪3在QQ群里的讨论,昨天下午我有事所以没有及时整理,这里也会说一下我的原始想法。
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昨天何姐来向我求助下面这个题:
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最近做了几个Ceva圆和九点圆相关的题目,在这里整理一下发出来。要处理Ceva圆和九点圆的交点,一套重要的工具就是Poncelet点和Fontene定理。先不加证明地给出一些定义和定理。
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昨天张德朋在“几何大家玩”群里提了如下问题:
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网友“lf°wjo◆ ”在2020年7月19号在一个QQ群里发了如下问题.
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今天是部分无疫情地区高联的日子,A卷二试的平面几何放在了P2,原题如下。
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前几天张騄问了我这么一个问题:
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刚看到今年CGMO的平几,放在第3题,2分钟秒了(可以说是完全四边形等角共轭练习题了,欢迎读者复习《巨龙曲线学习笔记》。
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今天是部分地区高联的日子,A1卷二试的平面几何放在了P1,原题如下。
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本文是与程神合作完成的对2021 CGMO P2的推广与证明。
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前阵子河北衡水的刘通老师在微信上问了我一个题:
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本文是2022年秋季学期我在修于世卓老师的《代数几何引论》课程时做的期末大作业。
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2020年暑假, 我参与了BICMR的暑期学校, 但当时因为受困于即将开学所产生的期末考试压力, 一直没有静下心来整理一下自己学到的东西. 半年之后再看, 感觉自己已经忘却许多, 于是便决定重新梳理一遍当时学到的内容, 也就产生了这个笔记.
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刚刚在贴吧看到了今天的测试题,平几放在了第二题,是个截搭题,甚至不太需要画图,只要导角就可以了,也可以很容易地推广。不过知足常乐,国集考试里能提出Simson线和九点圆的概念感觉已经很不易了。题目如下:
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直接上题:
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前阵子有网友问纯几何吧4778有没有什么简单的做法,原题如下:
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今天2020CMO的比赛部分刚刚结束,只有P4是个平面几何,大概看了一眼,发现此题可以推广,于是便推广并证明了一下。
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最近看到“MEtHod$\Omega$”在整理一些T神曾经的Post中给出的漂亮结果之类的,然后看到了一个挺有意思的题,就试着做了一下,甚至于在“Ifwjo”的帮助下还找到了一个比T神原来做法更简洁的方法。本文的主要目的就是给出这个题目的证明.
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本文是本学期数学前沿问题选讲的小论文。
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前阵子被别人问题的时候想到了一个问题:
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本题是这两天看GTM82时做到的.
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前几天张騄问了我这么一个问题:
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今天是2023 IMO的第二天,本来都想着摸鱼了,结果很出乎意料地发现P6是几何,直接心态爆炸,因为之前在群里许下过如果几何出在P6就发100元红包…但该看题还是看题,这是一个证明共轴的题目,那找俩到三个圆圆幂相等的点就是比较自然的想法了,但个人感觉这需要极为强大的观察力,反正我不用几何画板应该是肯定做不出来了(
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今天正是今年在日本举办的2023年IMO的第一天比赛,我刚刚参加完中科大举办的庆祝Calabi的100岁生日会,正在从合肥返回天津的高铁上,看到题目出来后便动手做了一下放松一下心情,然后连上网看了一下发现zyc和我的做法基本一样,大家也有很多别的做法,这里就简单写一下。今天的第二题是平面几何,比较中规中矩,应该也就是联赛第二题的难度。
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前几天张騄问了我这么一个问题:
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昨天在《几何大家玩》微信群里,lingluo提到“Lemoine线与三角形三边围成的完全四边形的密克点是$X_{110}$(Euler线的逆Steiner点)”是熟知的,insane随即反驳他不知道这事,我想了想发现我以前甚至还把这东西推广了(说明in没认真看我知乎,警告一次)。
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最近有人在做$X_{110}$也即Euler线的逆Steiner点那一块的结论,然后在群里问这东西的三线性极线是布洛卡轴$X_3X_6$怎么证,这导致我突然发现我也不会这个的证明,甚至连外接圆上点的三线性极线过陪位重心都不会证…于是动手找了个还算不错的刻画,这里放一下证明以作备忘,权当复习熟知结论了.
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最近看到“MEtHod$\Omega$”在整理一些T神曾经的Post中给出的漂亮结果之类的,然后看到了一个挺有意思的题,就试着做了一下,甚至于在“Ifwjo”的帮助下还找到了一个比T神原来做法更简洁的方法。本文的主要目的就是给出这个题目的证明.
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昨天张德朋在“几何大家玩”群里提了如下问题:
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大年初一那天(2023.01.24),赵力在数个微信群里发了如下贺岁题:
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昨天发完公众号后,我发现解答里还有一些瑕疵,而且可以大大简化,也可以不那么依赖于题目的数据(比如诸多余弦的计算),这里一并修改一下,原文也会保留,以显示我的第一想法。
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今天是2022年CMO的第一天考试日,P2是一个沾一点平面几何的题,拿出来写一下。
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好长时间没更新了,主要原因在于我上周抗原阳了(
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今天的平几放在了第一题,还是很容易的.
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今年的IMO考试部分刚刚结束,不出所料地,两天只有一个平面几何,而且放在了P4的位置。难度实在是不忍直视…群里有老师评价说:“做题的时间比画图的时间短。”可以说是非常中肯了捏(由于我沉迷于打老滚OL,所以忘了及时下线看题,等想起来之后看一眼手机发现大佬们几乎把今天题AK掉了(不过好歹是IMO题,尊重一下,给个几乎做完之后立刻就能看出来的推广。
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今天的主角是下面这个题:
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2022.01.31的时候网友“一生平安”在公众号后台发来如下问题。
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前两天有一个读者在我公众号的后台问了我如下问题.
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试题来源于如下图片:
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叶中豪老师在2020.04.10在我们爱几何公众号上发了如下问题:
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今天是部分无疫情地区高联的日子,A卷二试的平面几何放在了P2,原题如下。
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今天这题没发现什么推广的空间,直接放题目和证明:
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今天是2020全国高中数学联赛举办之日,其二试P1是一个简单的平面几何问题,本文给出其推广及证明。(其实感觉二试头三个题都还是比较简单的…)
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今年集训队头两天的考试完事了,还占了我们上课的教室(看到题之后异常感动,感觉好长时间没在正式比赛里见到这么常规的题目了(
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今天的主角是下面这个题:
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丕丕前阵子在《奥数研究新群》里问了一个问题:
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前天叶中豪老师在“几何大家玩”微信群里发了如下命题:
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本文的主要目的是简要介绍一个几何变换$\mbox{cevamul}$,也就是Ceva point的基本内容,并利用其证明Schiffler点$X_{21}$的一个基本性质.
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今天李雨明老师在《我们爱几何》微信群里命制了如下题目:
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昨天回高中自习的时候,有个学弟问了我一道小题目:
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黄老师今年3月7号在《几何大家玩》微信群里发了这样一道题:
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前阵子河北衡水的刘通老师在微信上问了我一个题:
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最近有人在做$X_{110}$也即Euler线的逆Steiner点那一块的结论,然后在群里问这东西的三线性极线是布洛卡轴$X_3X_6$怎么证,这导致我突然发现我也不会这个的证明,甚至连外接圆上点的三线性极线过陪位重心都不会证…于是动手找了个还算不错的刻画,这里放一下证明以作备忘,权当复习熟知结论了.
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去年6月14号,《我们爱几何》微信公众号推送了潘成华老师的一个题目。
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本文的主要目的是简要介绍一个几何变换$\mbox{cevamul}$,也就是Ceva point的基本内容,并利用其证明Schiffler点$X_{21}$的一个基本性质.
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这个文档是我对李琼玲老师在2021年暑假组织的短课程之一《几何群论》中课后习题的非官方解答。更多课程信息详见:2021年南开大学暑期短期课程.
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本文是本学期我在北大上杨文元老师的《双曲几何引论》课程时写的期末读书报告。
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这个文档是我对李琼玲老师在2021年暑假组织的短课程之一《Introduction to hyperbolic surfaces》中课后习题的非官方解答。更多课程信息详见:2021年南开大学暑期短期课程.
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今天早上六点多醒来,看到了今年IMO试题发布,虽然有个几何P3但当时一点也没心情做,因为昨天晚上喝的稍微有点多(喝了点蜂蜜水又躺了一会恢复恢复状态就到八点了,尝试做了一下,赶在九点半度量黎曼几何课之前做出来了,趁着休息迅速码一下字(
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前阵子武江铮问了我这么一个比较酷炫的问题.
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今天是2023 IMO的第二天,本来都想着摸鱼了,结果很出乎意料地发现P6是几何,直接心态爆炸,因为之前在群里许下过如果几何出在P6就发100元红包…但该看题还是看题,这是一个证明共轴的题目,那找俩到三个圆圆幂相等的点就是比较自然的想法了,但个人感觉这需要极为强大的观察力,反正我不用几何画板应该是肯定做不出来了(
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今天李雨明老师在《我们爱几何》微信群里命制了如下题目:
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叶中豪老师在2020.04.10在我们爱几何公众号上发了如下问题:
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最近《许康华竞赛优学》公众号发布了一篇文章,其中主体是由潘成华老师命制的如下平面几何题目。
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本文主要目的是为了介绍Xuming Liang和Ivan Zelich在https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2015/10/1.pdf这篇文章中得到的一些结果(并不会介绍证明,感兴趣的读者可以自己点进链接去看),并简要介绍一些这些结果的应用。
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试题来源于如下图片:
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纯几何吧4409是如下问题:
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今天来介绍一下所谓正对应极点(orthocorrespondent)的概念,这个概念十分升级以至于我到现在没太搞明白具体咋用,不过因为它和纯几何吧344和609都有联系,所以还是尝试着写一下,本文的最终目的是为了证明344的一个等价命题并证明609.主要证明来自于qzc和djc还有豪神这几位聚聚,笔者仅起到猜出那个命题和整理的作用.
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最近看到人大附中的几何群里有人问了一个问题:
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最近忙于暑期学校,一直没抽出什么时间来尝试攻克或参与攻克一些看起来困难的平面几何题,不过也做了几个小题目练手,这里码一下发上来。
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本文的目的是通过几个例子介绍一个三角形几何学中的重要引理。
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今天来介绍一下所谓正对应极点(orthocorrespondent)的概念,这个概念十分升级以至于我到现在没太搞明白具体咋用,不过因为它和纯几何吧344和609都有联系,所以还是尝试着写一下,本文的最终目的是为了证明344的一个等价命题并证明609.主要证明来自于qzc和djc还有豪神这几位聚聚,笔者仅起到猜出那个命题和整理的作用.
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最近看到知乎上有人邀请我回答下面这个问题:
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相信大家都见过如下的经典问题:
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这篇文章很早就写出来了,但是到现在才发在了数学新星网上。
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本文的目的是通过几个例子介绍一个三角形几何学中的重要引理。
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最近忙于暑期学校,一直没抽出什么时间来尝试攻克或参与攻克一些看起来困难的平面几何题,不过也做了几个小题目练手,这里码一下发上来。
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网友“lf°wjo◆ ”在2020年7月19号在一个QQ群里发了如下问题.
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前两天占岩老师在几何教师协会群里发了如下问题:
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今天的题目是一个群友问的,看起来是万喜人老师的一个题目,为了叙述方便我修改一下条件顺序。
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今天是2023 IMO的第二天,本来都想着摸鱼了,结果很出乎意料地发现P6是几何,直接心态爆炸,因为之前在群里许下过如果几何出在P6就发100元红包…但该看题还是看题,这是一个证明共轴的题目,那找俩到三个圆圆幂相等的点就是比较自然的想法了,但个人感觉这需要极为强大的观察力,反正我不用几何画板应该是肯定做不出来了(
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这篇文章早在前几天就该写出来了,但一直懒得写…是一个特殊图问题,原题看起来还是挺吓人的。
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今天是部分地区高联的日子,A1卷二试的平面几何放在了P1,原题如下。
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本文是与程神合作完成的对2021 CGMO P2的推广与证明。
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昨天下午突然看到Clarszind的QQ群里说北夏的题出来了,试着做了一下,感觉几何题出的还是很漂亮的(注(2022.04.03):今天跟yz恰火锅,他告诉我这题是他出的…),先放题目(因为出来的是考生回忆版,我稍微改动了一下叙述,但题意没改)
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今天早上六点多醒来,看到了今年IMO试题发布,虽然有个几何P3但当时一点也没心情做,因为昨天晚上喝的稍微有点多(喝了点蜂蜜水又躺了一会恢复恢复状态就到八点了,尝试做了一下,赶在九点半度量黎曼几何课之前做出来了,趁着休息迅速码一下字(
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黄老师今年3月7号在《几何大家玩》微信群里发了这样一道题:
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头两天有群友问了我一个曹老爷讲义上的问题,题目如下:
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昨天何姐来向我求助下面这个题:
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前阵子有网友问纯几何吧4778有没有什么简单的做法,原题如下:
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相信大家都见过如下的经典问题:
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今年的题中午就出来了,几何是二试第一题,我觉得可以说是近几年来出的最好的一个几何题,先看原题:
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丕丕前阵子在《奥数研究新群》里问了一个问题:
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最近俄罗斯总理米舒斯京在2021.09.01视察莫斯科物理技术学院时提出的一个单尺作图题成为了一个网红题,题目如下。
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前阵子豪神旧事重提,把网友zyckk4写的纯几何吧1953中的59楼的结论拿出来问是否可以推广。先看一下原题。
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前天叶中豪老师在“几何大家玩”微信群里发了如下命题:
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本题是这两天看GTM82时做到的.