对一道平面几何题的证明与推广

许久没更新了。今天回高中溜达，碰见现在竞赛班的学生跟我说他们今天练的模拟题几何很难（从他们的得分来看这个题对他们来说确实不容易），便顺手做了一下（正好更新一下以免公众号被销号）。原题如下。

题目：如图, $\triangle ABC$内接于圆$O$, $I,J$分别是内心和$A$-旁心, $AJ$交圆$O$于$U$, $D$在$BC$上且满足$DA=DJ$, $AD$交圆$O$于$K$, $M$是$BC$中点, $IM,UK$交于$N$. 证明：$MI=MN$.

Proof. 由于$B,I,C,J$共以$IJ$为直径的圆且$M$是$BC$中点，所以我们只需证明$N$是$\triangle JBC$的垂心. 为叙述方便, 我们接下来重定义$N$是$\triangle JBC$的垂心并证明$N,K,U$共线. 此时由于$U,N$分别是$\triangle JBC$的外心与垂心, 故我们可以认为$UN$的方向已知，此时只需刻画$UK$的方向. 设$AU$交$BC$于$T$, $UK$交$BC$于$P$, 易见$K,P,A,T$共圆. 于是$\measuredangle DPK=\measuredangle TAD=\measuredangle DJT$, 故$D,P,J,U$共圆. 因此$\measuredangle JUK=\measuredangle JDB$, 只需证$\measuredangle JUN=\measuredangle JDB$​.

现在的问题便转化为了刻画$JD$的方向, 我们考虑补全图形以给$D$更多信息. 设出$\triangle ABC$的另两个旁心$E,F$. 设$JF,JE$中点分别为$B’,C’$, 则$B’C’$是$JA$中垂线, 故其经过$D$. 熟知$O,I$分别是$\triangle JEF$的九点圆心与垂心, $I$关于$O$的对称点$O’$是$\triangle JEF$的外心. 由$\triangle JEF\stackrel{-}{\sim}\triangle JBC$及相似对应可知$\measuredangle JUN=\measuredangle IO’J$. 故只需证 $\measuredangle IO’J=\measuredangle JDB$. 注意到$JO’\perp DB$, 因此只需证$JD\perp IO’$.

设$AO’$中点是$Q$. 注意到$B,B’,C,C’$共$\triangle JEF$的九点圆, 即$\odot(ABC)$, 易见$\overline{DB}\cdot\overline{DC}=\overline{DB’}\cdot\overline{DC’}$，故$JD$是$\odot(JBC)$与$\odot(JB’C’)$的根轴. 两圆分别以$JI$与$JO’$为直径, 故$JD\perp UQ$. 由$UQ$是$\triangle JIO’$的中位线即知$JD\perp IO’$.$\quad\Box$

注意到最后证明垂直实际上对更广泛的情形都对：考虑一个$\triangle ABC$的任意一对等角共轭点$P,Q$, 设$P,Q$关于$\triangle ABC$的垂足三角形分别为$\triangle P_1P_2P_3$, $\triangle Q_1Q_2Q_3$, 设$P_2P_3$交$Q_2Q_3$于$D$, 则$AD\perp PQ$. 上述证明无非是对$\triangle JEF$的外心$O’$与垂心$I$的特例, 据此容易得以下推广.

推广：给定$\triangle ABC$与$\odot(ABC)$上一点$U$. $I,J$是$AU$上满足$IB\perp JB$且$IC\perp JC$的两点. $AU$上点$X$满足$\overline{JX}/\overline{JA}=\overline{JU}/\overline{JI}$, 过$X$做$AU$垂线交$BC$于$D$. $V,K$是$\odot(ABC)$上两点, 使得$AV//JD$, $VK//BC$. 过$J$做$BC$垂线交$UK$于$N$. 证明：$\measuredangle NBC=\measuredangle JBU$, $\measuredangle NCB=\measuredangle JCU$​.

令$U$为弧$BC$中点便得到原问题. 推广的证明细节留给读者.