对2023 IMO P6的证明
Published:
今天是2023 IMO的第二天，本来都想着摸鱼了，结果很出乎意料地发现P6是几何，直接心态爆炸，因为之前在群里许下过如果几何出在P6就发100元红包…但该看题还是看题，这是一个证明共轴的题目，那找俩到三个圆圆幂相等的点就是比较自然的想法了，但个人感觉这需要极为强大的观察力，反正我不用几何画板应该是肯定做不出来了（
题目：设$\triangle ABC$是一个正三角形. 点$A_1, B_1,C_1$在三角形$ABC$的内部, 且满足$BA_1= A_1C$, $CB_1 = B_1A$, $AC_1 = C_1B$, 及$\angle BA_1C +\angle CB_1A +\angle AC_1B = 480^{\circ}$. 设直线$BC_1$与$CB_1$交于点$A_2$, 直线$CA_1$与$AC_1$交于点$B_2$, 直线$AB_1$与$BA_1$交于点$C_2$.
证明: 若三角形$A_1B_1C_1$的三边长度两两不等, 则三角形$AA_1A_2$, $BB_1B_2$和$CC_1C_2$的外接圆都经过两个公共点.
.png)
Proof. 我们证明8个断言，以此完成整个题目的证明.
断言1：$AA_2,BB_2,CC_2$共点，记为$X$.
断言1的证明. 对$\triangle ABC$和$A_2,B_2,C_2$分别用角元Ceva定理可知
\[\begin{aligned}&\prod_{cyc}\dfrac{\sin\angle BAA_2}{\sin\angle CAA_2}&\\=&\prod_{cyc}\dfrac{\sin\angle ABC_1}{\sin\angle CBC_1}\cdot\dfrac{\sin\angle BCB_1}{\sin\angle ACB_1}\\=&1,\end{aligned}\]故由角元Ceva定理的逆定理可知断言1成立.
.png)
断言2：$A_2$在以$A_1$为圆心，$A_1B$为半径的圆上，记此圆为$\omega_1$，轮换地定义$\omega_2,\omega_3$.
断言2的证明. 注意到
\[\begin{aligned}&\angle BA_2C\\=&60^\circ+\angle ABC_1+\angle ACB_1\\=&60^\circ+180^\circ-(\angle AC_1B+\angle AB_1C)/2\\=&\angle BA_1C/2\end{aligned}\]即证.
.png)
断言3：设$X$关于$\triangle ABC$的等角共轭点为$Y$，$AY$交$\odot(AA_1A_2)$于另一点$A_3$，则$A_3$在$\omega_1$上. 轮换地定义$B_3,C_3$.
断言3的证明. 注意到$AA_1$平分$\angle A_2AA_3$且$A,A_1,A_2,A_3$共圆即知$A_1A_3=A_1A_2$.
断言4：$B,C,B_3,C_3$共圆.
断言4的证明. 由于$BB_3$与$BB_2$关于$BB_1$对称，故$\measuredangle BB_3C=\measuredangle ACB_2$，同理$\measuredangle BC_3C=\measuredangle C_2BA$，由$B,C$关于$AA_1$对称即知$\measuredangle ACB_2=\measuredangle C_2BA$，于是这说明断言4成立.
.png)
断言5：$Y$到$\odot(AA_1A_2)$，$\odot(BB_1B_2)$，$\odot(CC_1C_2)$的圆幂相等.
断言5的证明. 由断言4立知$YB\cdot YB_3=YC\cdot YC_3$，轮换即得断言5成立.
断言6：$B_1,C_1,B_2,C_2$共圆.
断言6的证明. 由断言2可知
\[\begin{aligned}&\measuredangle AB_2B_1\\=&90^\circ+\measuredangle ACA_1\\=&90^\circ+\measuredangle A_1BA\\=&\measuredangle AC_2C_1.\end{aligned}\].png)
断言7：$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$共点$Z$且$Z$到$\odot(AA_1A_2)$，$\odot(BB_1B_2)$，$\odot(CC_1C_2)$的圆幂相等.
断言7的证明. 由断言6轮换并使用Monge定理立得.
断言8：$Y,Z$是两个不同的点.
断言8的证明. 注意到$A_1B_2C_1A_2B_1C_2$是凸六边形（$A_1,B_1,C_1$均在$\triangle ABC$内部保证），故$Z$在线段$A_1A_2$上，又$X$在$\triangle ABC$内部，故$Y$也在$\triangle ABC$内部，故其在线段$AA_3$上，由于$AA_2$与$AA_3$关于$AA_1$对称，故$Y,Z$在$AA_1$的异侧，这说明$Y,Z$是两个不同的点.
综上所述，$\odot(AA_1A_2)$，$\odot(BB_1B_2)$，$\odot(CC_1C_2)$共轴. $\quad\Box$