对2023 IMO P2的证明
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今天正是今年在日本举办的2023年IMO的第一天比赛，我刚刚参加完中科大举办的庆祝Calabi的100岁生日会，正在从合肥返回天津的高铁上，看到题目出来后便动手做了一下放松一下心情，然后连上网看了一下发现zyc和我的做法基本一样，大家也有很多别的做法，这里就简单写一下。今天的第二题是平面几何，比较中规中矩，应该也就是联赛第二题的难度。
题目：如图，在锐角$\triangle ABC$中，$AB < AC$，$\Omega$是外接圆，$S$是弧$BAC$的中点. 过$A$作$BC$的垂线交$BS$于点$D$、交$\Omega$于点$E$. 过$D$作$BC$的平行线交直线$BE$于点$L$，设$\triangle BDL$的外接圆$\omega$与$\Omega$交于另一点$P$. 求证：$\omega$在$P$处的切线与直线$BS$的交点在$\angle BAC$的平分线上. （题目来源：数之谜小程序）
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Proof. 设$N$为弧$BC$中点，$AN$交$BC$于$T$，只需证明$PT$与$\odot(DBL)$相切. 设$AD$与$\odot(DBL)$的第二交点为$R$，则$LR$为$\odot(DBL)$的直径，由 \(\begin{aligned}&\measuredangle ATB\\=&\measuredangle ASB+90^\circ\\=&\measuredangle ACB+90^\circ\\=&\measuredangle CAE\\=&\measuredangle CBE\\=&\measuredangle ERB\\=&\measuredangle ARB\end{aligned}\) 知$A,T,R,B$共圆，再由 \(\begin{aligned}&\measuredangle ABT\\=&\measuredangle AES\\=&\measuredangle NAE\\=&\measuredangle NBE\\=&\measuredangle TBR\end{aligned}\) 知$TA=TR$. 由 \(\begin{aligned}&\measuredangle BPN\\=&\measuredangle BSN\\=&\measuredangle BDR\\=&\measuredangle BPR\end{aligned}\) 知$P,R,N$共线. 故结合 \(\begin{aligned}&\measuredangle ATR\\=&\measuredangle ABR\\=&2\measuredangle ABS\\=&2\measuredangle APS\\=&2\measuredangle APR\end{aligned}\) 与$TA=TR$说明$T$是$\triangle APR$外心，故$TP^2=TA^2=TD\cdot TB$. 于是$TP$为$\odot(DBL)$的切线.
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