对2023 IMO P2的证明

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今天正是今年在日本举办的2023年IMO的第一天比赛,我刚刚参加完中科大举办的庆祝Calabi的100岁生日会,正在从合肥返回天津的高铁上,看到题目出来后便动手做了一下放松一下心情,然后连上网看了一下发现zyc和我的做法基本一样,大家也有很多别的做法,这里就简单写一下。今天的第二题是平面几何,比较中规中矩,应该也就是联赛第二题的难度。

题目:如图,在锐角$\triangle ABC$中,$AB < AC$,$\Omega$是外接圆,$S$是弧$BAC$的中点. 过$A$作$BC$的垂线交$BS$于点$D$、交$\Omega$于点$E$. 过$D$作$BC$的平行线交直线$BE$于点$L$,设$\triangle BDL$的外接圆$\omega$与$\Omega$交于另一点$P$. 求证:$\omega$在$P$处的切线与直线$BS$的交点在$\angle BAC$的平分线上. (题目来源:数之谜小程序)

Proof. 设$N$为弧$BC$中点,$AN$交$BC$于$T$,只需证明$PT$与$\odot(DBL)$相切. 设$AD$与$\odot(DBL)$的第二交点为$R$,则$LR$为$\odot(DBL)$的直径,由 \(\begin{aligned}&\measuredangle ATB\\=&\measuredangle ASB+90^\circ\\=&\measuredangle ACB+90^\circ\\=&\measuredangle CAE\\=&\measuredangle CBE\\=&\measuredangle ERB\\=&\measuredangle ARB\end{aligned}\) 知$A,T,R,B$共圆,再由 \(\begin{aligned}&\measuredangle ABT\\=&\measuredangle AES\\=&\measuredangle NAE\\=&\measuredangle NBE\\=&\measuredangle TBR\end{aligned}\) 知$TA=TR$. 由 \(\begin{aligned}&\measuredangle BPN\\=&\measuredangle BSN\\=&\measuredangle BDR\\=&\measuredangle BPR\end{aligned}\) 知$P,R,N$共线. 故结合 \(\begin{aligned}&\measuredangle ATR\\=&\measuredangle ABR\\=&2\measuredangle ABS\\=&2\measuredangle APS\\=&2\measuredangle APR\end{aligned}\) 与$TA=TR$说明$T$是$\triangle APR$外心,故$TP^2=TA^2=TD\cdot TB$. 于是$TP$为$\odot(DBL)$的切线.