解答赵力的一道贺岁题
Published:
大年初一那天（2023.01.24），赵力在数个微信群里发了如下贺岁题：
其实我们只需要观察一个局部上面积相差多少即可. 设$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$的旋转相似中心为$O$, 旋转角为$\theta$, 我们来看如下图形.
.png)
用$[\mathbf{X}]$表示图形$\mathbf{X}$的有向面积, 我们有:
\[\begin{aligned}&\left[A_{i+1}B_{i+1}D_iC_i\right]-[C_iD_iB_{i}A_i]\\=&[OA_{i+1}B_{i+1}]+[OB_{i+1}D_i]+[OD_iC_i]+[OC_iA_{i+1}]\\&-[OC_iD_i]-[OD_iB_i]-[OB_iA_i]-[OA_iC_i]\\=&[OA_{i+1}B_{i+1}]+[OA_iB_i]-2[OC_iD_i]\\=&\dfrac{r\cdot\sin\theta}{2}\left(OA_{i+1}^2+OA_i^2-2OC_i^2\right)\\=&\dfrac{r\cdot\sin\theta}{4}A_iA_{i+1}^2.\end{aligned}\]其中第一个等号来自于有向面积的基本性质, 第二个等号成立是因为$C_i,D_i$是线段$A_iA_{i+1}$和线段$B_iB_{i+1}$的中点, 故有$[OB_{i+1}D_i]=[OD_iB_i]$与$[OC_iA_{i+1}]=[OA_iC_i]$, 第三个等号来自于相似三角形面积比等于相似比的平方, 最后一个等号成立则是直接的中线长公式, 由此我们便可以知道问题中红色区域和蓝色区域之和相等等价于说
\[\dfrac{r\cdot\sin\theta}{4}\cdot\sum\limits_{i=1}^{2022}(-1)^iA_iA_{i+1}^2=0,\]这其实是说面积差只与$\mathbf{A}$的形状, $r$的选取与旋转角$\theta$有关, 但很遗憾, 这三者的决定权都在金虎手中, 而这也就意味着如果金虎选定的$\mathbf{A}$满足$\sum\limits_{i=1}^{2022}(-1)^iA_iA_{i+1}^2=0$, 则瑞兔无论如何钉钉子 (当然了, 金虎如果真想赢就不可能这么干) 都能获得胜利; 但如果金虎选定的$\mathbf{A}$不满足$\sum\limits_{i=1}^{2022}(-1)^iA_iA_{i+1}^2=0$, 那瑞兔只有在$4)$中令某个线段$B_iB_{i+1}$落在线段$A_iA_{i+1}$上把$\theta$卡在$0$ (也就是用$3)$的要求把金虎在$5)$处的操作空间完全卡没) 才能获胜, 不过这其实是默认$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$都是 (点集拓扑意义下) 开的了, 如果默认$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$都是 (点集拓扑意义下) 闭的 (我们这里不考虑不开不闭的情形), 那此时无论瑞兔怎么钉, $\mathbf{B}$到$\partial\mathbf{A}$总有一个非负的距离 (二者都是紧的), 于是金虎总可以旋转一个非$0$的角度, 此时瑞兔就毫无胜算了.
最后, 如果我们稍微过度解读一下这个故事, 我们会看到: 有的时候别人大发慈悲让你做的决定其实完全不影响结果, 除非最极端的情况发生, 比如瑞兔在$4)$中钉钉子的位置, 而最极端的情况 (指把钉子钉到边界上) 能否发生还是要看别人对规则的解读.