对2022全国高中数学联赛A卷加试P1的分析及证明

今年的题中午就出来了，几何是二试第一题，我觉得可以说是近几年来出的最好的一个几何题，先看原题：

题目：如图，在凸四边形$ABCD$中，$\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$，对角线$BD$上一点$P$满足$\angle APB=2\angle CPD$，线段$AP$上两点$X,Y$满足$\angle AXB=2\angle ADB$，$\angle AYD=2\angle ABD$，求证：$BD=2XY$.

（图片来自：微信小程序《数之谜》）

这个题乍一看条件和要证的结论都不太挨着，画图似乎也略显困难，因为条件明显是说明$B,D$在以$AC$为直径的圆上，倘若先画这四个点，则$P$的位置就不是很好确定，所以我们可以考虑先换一下顺序，即先做出$\angle APB$，而后做其角分线与过$B$的$AB$垂线交于$C$，再做出$D$，之后的$X,Y$由于$\angle AXB=2\angle ADB$，所以我们应该是要画一个圆出来，而很巧的是$\triangle ADB$的外心$O$恰好满足$\angle AOB=2\angle ADB$，所以其实$X$和$Y$就分别在$\odot(AOB)$与$\odot(AOD)$上：

那么我们看到要考虑的$X,Y$两点恰好是$AP$和上述两圆的两个交点，一般这两点与两圆的另一个交点围成的三角形会出现很好的相似，并且由于我们最后要考虑的是$XY$的长度，所以更坚定了我们找相似的想法。简单推导后可以发现

同理可见$\angle OYX=\angle CBD$，故$\triangle OXY\sim\triangle CDB$，所以此时我们就发现$XY$和$BD$的长度比恰好就被这两个三角形的相似比决定了，这更坚定了我们走在正确的道路上的想法。

接下来我们要看这两个三角形的相似比，目前仅剩的条件就是$\angle APB=2\angle CPD$了，事实上我一开始是不太指望继续在边上做文章了（但后来发现确实有别人沿着这条路走下来了），所以我想了一下做高，而此时，仅剩的条件就被用上了，因为$C$到$BD$的距离恰好就是$C$到$AP$的距离，而由$O$是$AC$中点，这恰好就是$O$到$XY$(即$AC$)距离的$2$倍. 这样本题就做完了.

我们来完整写一下过程.

Proof. 注意到$B,D$均在以$AC$为直径的圆上，设该圆圆心(即$AC$中点)为$O$，则由$\angle AOB=2\angle ADB=\angle AXB$知$A,O,X,B$共圆，同理$A,O,Y,D$共圆，则

同理可见$\angle OYX=\angle CBD$，故$\triangle OXY\sim\triangle CDB$. 设$O$在$XY$上的投影为$Z$，$C$在$BD,AP$上的投影分别为$E,H$，故由$\angle APB=2\angle CPD$知$CP$平分$\angle DPH$，故$CE=CH$. 又由于$\angle CHA=90^\circ$，由$O$为$AC$中点、$OZ//CH$知$CH=2OZ$，故$\triangle OXY\sim\triangle CDB$的相似比为$1/2$，即$BD=2XY$. $\quad\Box$

注：我与标答的做法几乎完全一致，但大家如果细看标答可以发现其多了一步论证$P,B$在$A,C$的同一侧，这种序关系一般同学做题的时候可能默认这是“如图”提供的信息，但实际上序关系在导非有向角或有向距离时至关重要。

点评：本题不算困难，涉及到的知识点仅有相似和共圆，很适合放在P1的位置，但其作为P1，又不像前几年的题一样不需要动脑思考、可以一眼看出，本题还是需要一些简单的分析并且包含一些消点的思想在里面。而且本题方法并不唯一，甚至可以使用一些简单的计算做出，没有将学生的思路限制死，这点上本题远胜包括但不限于2017、2019年的联赛题。我个人认为此题是一道不可多得的好题。