对2022全国高中数学联赛A卷加试P1的分析及证明

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今年的题中午就出来了,几何是二试第一题,我觉得可以说是近几年来出的最好的一个几何题,先看原题:

题目:如图,在凸四边形$ABCD$中,$\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$,对角线$BD$上一点$P$满足$\angle APB=2\angle CPD$,线段$AP$上两点$X,Y$满足$\angle AXB=2\angle ADB$,$\angle AYD=2\angle ABD$,求证:$BD=2XY$.

(图片来自:微信小程序《数之谜》)

这个题乍一看条件和要证的结论都不太挨着,画图似乎也略显困难,因为条件明显是说明$B,D$在以$AC$为直径的圆上,倘若先画这四个点,则$P$的位置就不是很好确定,所以我们可以考虑先换一下顺序,即先做出$\angle APB$,而后做其角分线与过$B$的$AB$垂线交于$C$,再做出$D$,之后的$X,Y$由于$\angle AXB=2\angle ADB$,所以我们应该是要画一个圆出来,而很巧的是$\triangle ADB$的外心$O$恰好满足$\angle AOB=2\angle ADB$,所以其实$X$和$Y$就分别在$\odot(AOB)$与$\odot(AOD)$上:

那么我们看到要考虑的$X,Y$两点恰好是$AP$和上述两圆的两个交点,一般这两点与两圆的另一个交点围成的三角形会出现很好的相似,并且由于我们最后要考虑的是$XY$的长度,所以更坚定了我们找相似的想法。简单推导后可以发现

\[\begin{aligned}&\angle OXY\\=&\angle OXA\\=&\angle OBA\\=&90^\circ-\angle ADB\\=&\angle CDB,\end{aligned}\]

同理可见$\angle OYX=\angle CBD$,故$\triangle OXY\sim\triangle CDB$,所以此时我们就发现$XY$和$BD$的长度比恰好就被这两个三角形的相似比决定了,这更坚定了我们走在正确的道路上的想法。

接下来我们要看这两个三角形的相似比,目前仅剩的条件就是$\angle APB=2\angle CPD$了,事实上我一开始是不太指望继续在边上做文章了(但后来发现确实有别人沿着这条路走下来了),所以我想了一下做高,而此时,仅剩的条件就被用上了,因为$C$到$BD$的距离恰好就是$C$到$AP$的距离,而由$O$是$AC$中点,这恰好就是$O$到$XY$(即$AC$)距离的$2$倍. 这样本题就做完了.

我们来完整写一下过程.

Proof. 注意到$B,D$均在以$AC$为直径的圆上,设该圆圆心(即$AC$中点)为$O$,则由$\angle AOB=2\angle ADB=\angle AXB$知$A,O,X,B$共圆,同理$A,O,Y,D$共圆,则

\[\begin{aligned}&\angle OXY\\=&\angle OXA\\=&\angle OBA\\=&90^\circ-\angle ADB\\=&\angle CDB,\end{aligned}\]

同理可见$\angle OYX=\angle CBD$,故$\triangle OXY\sim\triangle CDB$. 设$O$在$XY$上的投影为$Z$,$C$在$BD,AP$上的投影分别为$E,H$,故由$\angle APB=2\angle CPD$知$CP$平分$\angle DPH$,故$CE=CH$. 又由于$\angle CHA=90^\circ$,由$O$为$AC$中点、$OZ//CH$知$CH=2OZ$,故$\triangle OXY\sim\triangle CDB$的相似比为$1/2$,即$BD=2XY$. $\quad\Box$

:我与标答的做法几乎完全一致,但大家如果细看标答可以发现其多了一步论证$P,B$在$A,C$的同一侧,这种序关系一般同学做题的时候可能默认这是“如图”提供的信息,但实际上序关系在导非有向角或有向距离时至关重要。

点评:本题不算困难,涉及到的知识点仅有相似和共圆,很适合放在P1的位置,但其作为P1,又不像前几年的题一样不需要动脑思考、可以一眼看出,本题还是需要一些简单的分析并且包含一些消点的思想在里面。而且本题方法并不唯一,甚至可以使用一些简单的计算做出,没有将学生的思路限制死,这点上本题远胜包括但不限于2017、2019年的联赛题。我个人认为此题是一道不可多得的好题。