对2022 CGMO P3的推广与证明

刚看到今年CGMO的平几，放在第3题，2分钟秒了（可以说是完全四边形等角共轭练习题了，欢迎读者复习《巨龙曲线学习笔记》。

原题目如下：

原题：在$\triangle ABC$中，$AB>AC$，$I$是内心，$AM$是中线. 设过$I$且与$BC$垂直的直线与$AM$交于点$L$，$I$关于点$A$的对称点为$J$. 证明：$\angle ABJ=\angle LBI$.

这里给一个几乎平凡的推广：

推广：在$\triangle ABC$中，设$I$是$\angle BAC$角分线上的一点，$AM$是中线，$J$是$I$关于$A$的对称点，$L$是$AM$上一点，满足$\measuredangle (IL,BC)=\measuredangle BIA+\measuredangle ICB$. 证明：$\angle JBA=\angle LBI$.

Proof. 注意到$\measuredangle BAI=\measuredangle JAC$，故$A$存在关于完全四边形$\mathcal{A}:=(BI,IC,CJ,JB)$的等角共轭点$L’$，由于$IJ$中点为$A$，$BC$中点为$M$，故$\mathcal{A}$的Newton线为$AM$，故$AL’$的中点在$AM$上，也即$L’$在$AM$上，又

故$L\equiv L’$，于是$\measuredangle LBI=\measuredangle JBA$，又由于$B,C$在$I,J$两侧，故$A$作为$IJ$中点在$\mathcal{A}$内部，故$L$也在$\mathcal{A}$内部，即$\angle ABJ=\angle LBI$. $\quad\Box$