qzc的两道题（纯几何吧5218与5528）

纯几何吧5218和5528都是qzc命制的，题目如下：

问题1：已知$O,N$是$\triangle ABC$的外心、九点圆心，$P,Q$是一对等角共轭点，$R$是$P$的反角共轭点，$\triangle Q_aQ_bQ_c$是$Q$关于$\triangle ABC$的垂足三角形，$H_Q$为$\triangle Q_aQ_bQ_c$的垂心，$M$是$PQ$的中点. 证明：若$P,O,R$共线，则$MN$平行$QH_Q$.

问题2：设$P,Q$是$\triangle ABC$的一对等角共轭点, $L$是$PQ$中点. $H,Ni$分别是$\triangle ABC$的垂心,九点圆心. $R$是$P$关于$\triangle ABC$的反角共轭点. 证明：$LNi//PR$当且仅当$P,Q,H$共线.

为叙述统一，以下我们总记原本三角形为$\triangle ABC$, 外心、垂心、九点圆心分别为$O$, $H$, $N$, 并考虑一对等角共轭点$P,Q$及$P$关于$\triangle ABC$的反角共轭点$R$, 记$PQ$中点为$L$, $Q$关于$\triangle ABC$的垂足三角形为$\triangle Q_1Q_2Q_3$, 并设$\triangle Q_1Q_2Q_3$的垂心为$H_Q$. 可以看到两题的关键都是刻画一对等角共轭点的中点与九点圆心连线的方向. 事实上考虑到一对等角共轭点的中点恰为二者公共的垂足圆的圆心，所以连心线的方向可以用公共弦轻松地刻画出来. 若对平面上任意一点$X$, 我们记$ABCX$的Poncelet点为$\mathcal{P}(X)$, 则有

引理1：$LN\perp\mathcal{P}(P)\mathcal{P}(Q)$.

Proof. 由Poncelet点的定义知$\mathcal{P}(P)$与$\mathcal{P}(Q)$为$\odot(Q_1Q_2Q_3)$与$\triangle ABC$的九点圆的两个交点, 又由于$L,N$分别为两圆的圆心, 故$LN\perp\mathcal{P}(P)\mathcal{P}(Q)$. $\quad\Box$

注意到由反角共轭点的定义与位似，$PR$的中点恰好就是$\mathcal{P}(P)$, 故要刻画$PR$与$LN$的夹角，可以刻画$\mathcal{P}(P)\mathcal{P}(Q)$与$\mathcal{P}(P)P$的夹角，而这个在九点圆上相当好处理. 记$X$关于一个三角形$\triangle$的Steiner线为$\mathbf{S}^X_{\triangle}$.（这当然只有$X$在$\triangle$的外接圆上时才有意义.）并记$\triangle ABC$的中点三角形为$\triangle M_aM_bM_c$. 注意由于$\mathcal{P}(P)$是过$ABCHP$的等轴双曲线（也就是$OQ$的等角共轭像）的中心，于是$\mathcal{P}(P)$的反补点关于$\odot(ABC)$的对径点就是$OQ$方向无穷远点的等角共轭点，注意到$\mathbf{S}^X_{\triangle}$垂直方向的无穷远点就是$X$关于$\triangle$的等角共轭点, 于是我们有$\mathbf{S} _ {\triangle M_aM_bM_c}^{\mathcal{P}(P)}$就是$OQ$, 当然对称地$\mathbf{S}_ {\triangle M_aM_bM_c}^{\mathcal{P}(Q)}$就是$OP$. 接下来我们回顾Q038的一个性质及推广中的引理3.

引理2： 给定$ \triangle ABC $ 和一点$ P. $ 令 $ \mathcal{H} $ 是过$ ABCP $ 的等轴双曲线.$ V $ 是$P$与$ABCP$的Poncelet点$\mathcal{P}(P)$连线与$ \triangle M_aM_bM_c$外接圆的第二交点. 则$ \mathbf{S}^V _ {\triangle M_aM_bM_c} $与 $ \mathcal{H} $ 在$P$处切线$\ell$垂直.

证明不再重复叙述. 由此我们就可以看到

引理3：$\measuredangle(LN,PR)=\measuredangle(\ell,OP)$.

Proof.

$\quad\Box$

所以问题就归结到对$\ell$的方向的刻画，而这其实是老生常谈了, 我们回顾一个重要引理及其应用中的引理2.

引理4：给定两正交但非位似三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$，设两正交中心分别为$X_1,Y_1(AX_1\bot EF,DY_1\bot BC)$,并设$X,Y$满足$AX//DY$,$BX//EY$,$CX//FY$,则$X_1X//Y_1Y$.

回忆此引理的证明（可以直接点上面的链接, 这里不再写一遍了）, 我们知道$X$是在过$ABCX_1$的等轴双曲线上运动的, 所以自然有极限情况, 即$Y$是$\triangle DEF$的垂心, $X_1=X$时：

推论1：给定两正交但非位似三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$，设两正交中心分别为$X_1,Y_1(AX_1\bot EF,DY_1\bot BC)$,并设$\triangle DEF$的垂心为$H$, 则$Y_1H$平行于过$ABCX_1$的等轴双曲线在$X_1$处的切线.

将此应用到$\triangle ABC$与$\triangle Q_1Q_2Q_3$上, 我们就得到$QH_Q//\ell$, 也即

推论2：$\measuredangle(LN,PR)=\measuredangle(QH_Q,OP)$.

所以问题1便成为了推论2的直接推论. 我们稍微包装一下就得到了如下推广：

推广：给定$\triangle ABC$及其外心$O$、垂心$H$，$P$是平面上一点，$P$关于$\triangle ABC$三边的对称点分别为$X$、$Y$、$Z$，$Q$是$\triangle XYZ$的外心，设$PQ$、$OH$中点分别为$L$、$N$，$Q$在$\triangle ABC$三边上的投影分别为$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$，$H’$是$\triangle Q_1Q_2Q_3$的垂心，$\odot(YAC)$与$\odot(ZAB)$的第二交点 为$R$，设$QH’$分别交$OP$、$NL$于$U$、$V$，$PR$交$NL$于$W$. 求证：$P$、$U$、$V$、$W$共圆.

而对于问题2，通过引理3我们就看到$LN//PR$等价于$O$在$\ell$上，也即$OP$与过$ABCHP$的等轴双曲线相切于$P$, 所以我们只需要证明这等价于$P,Q,H$共线.

引理5：$OP$与过$ABCHP$的等轴双曲线相切于$P$等价于$P,Q,H$共线.

Proof. 设$P’$是过$ABCHP$的等轴双曲线$\mathcal{H}$上一点，其等角共轭点为$Q’$, 则$Q’$在$OQ$上. 由完全四边形的等角线性质知$T:=PP’\cap QQ’$与$T’:=PQ’\cap P’Q$是一对等角共轭点，注意到当$P’$趋于$P$时, 前者为$\mathcal{H}$在$P$处的切线与$OQ$的交点, 而后者为$PQ$与$\mathcal{H}$的第二交点, 故$OP$与$\mathcal{H}$相切等价于$T=O$, 等价于$T’=H$, 等价于$P,Q,H$共线. $\quad\Box$

综上，问题2也得到了证明.