对2022 IMO P4的推广及证明

今年的IMO考试部分刚刚结束，不出所料地，两天只有一个平面几何，而且放在了P4的位置。难度实在是不忍直视…群里有老师评价说：“做题的时间比画图的时间短。”可以说是非常中肯了捏（由于我沉迷于打老滚OL，所以忘了及时下线看题，等想起来之后看一眼手机发现大佬们几乎把今天题AK掉了（不过好歹是IMO题，尊重一下，给个几乎做完之后立刻就能看出来的推广。

先放一下原题：

题目：令$ABCDE$为一凸五边形满足$BC=DE$，假设在$ABCDE$内部存在一点$T$使得$TB=TD$，$TC=TE$且$\angle ABT=\angle TEA$. 令直线$AB$分别与直线$CD$和直线$CT$交于点$P$和$Q$，假设$P,B,A,Q$在同一直线上按照此顺序排列. 令直线$AE$分别与直线$CD$和直线$DT$交于点$R$和$S$，假设$R,E,A,S$在同一直线上按照此顺序排列. 证明$P,S,Q,R$落在同一个圆上.

推广：凸五边形$ABCDE$内部有一点$T$使得$\triangle TBD$与$\triangle TEC$逆相似，且$\angle ABT=\angle AET$，$AB$、$AE$分别交$CD$于$P$、$R$，$TD$交$AE$于$S$，$TC$交$AB$于$Q$. 证明：$P$、$Q$、$R$、$S$共圆.

Proof. 设$TC$交$AE$于$U$，$TD$交$AP$于$V$，则$\angle BQT=\angle BTC-\angle TBA=\angle ETD-\angle TEA=\angle EST$，故$Q$、$S$、$U$、$V$共圆. 又由$\angle VTB=\angle UET$知$\triangle TVB$与$\triangle TUE$逆相似，故$\dfrac{TU}{TV}=\dfrac{TB}{TE}=\dfrac{TD}{TC}$，故$UV//CD$，于 是$\angle QSA=\angle QVU=\angle QPR$，即$P$、$Q$、$R$、$S$共圆.$\quad\Box$