【以“史”为鉴】谈下一话题

前情提要：第一篇、要学好语文、一眼十辈子.

本节速览：史大爷后手被乱杀；回顾其过往的“转移话题”之例。

昨天用一眼秒了史大爷的十辈子后，史大爷直接为大伙上演了大型破防暨装疯卖傻（当然，也可能是真疯真傻）现场：

首先吐槽一点，史大爷您这个腰就别扫黄了。另外，这种“在想后手”的行为就好像什么呢？其实和“鲁提辖拳打镇关西”是一个道理，就是要故意找茬。即便镇关西耐心很好地完成了鲁提辖提出的刁钻要求，鲁提辖也会通过不断提出更刁钻的要求直至引爆镇关西的耐心。但很可惜，我不是镇关西，他这个老梆子更算不得鲁提辖，这种一见风声不对便开始转移话题，要“谈下一话题”般地把话题引向自己的地盘的当我之后的推送不会再理会了，事实上，这种打一枪没打过便换个阵地的手法史大爷基本已经登峰造极了，今天这篇推送的后面我们会试举几例。不过今天，为了让大伙见识到什么叫“饭送到嘴边都不吃”，我们还是看看史大爷想了两个多小时的“后手”到底是何方神圣：

为了让大家尽可能看得更清楚一些，我这里放一下原图：

下面这张图是史大爷为数不多的稍微有过程的内容，可事实上再一细看便会发现这mws文件不就是拿Maple算复数么…史大爷作图不写过程的原因一下就暴露了，拿程序剥蒜的，哪来的什么过程？同学们真要学复数法，给大伙推荐一下“复数法好”这个公众号。

再来看他上面这个“猜想”，一看双心$n$边形，估计是他不会用程序写$n$边形的约束关系了…而且你这拿个猜想来问我，自己都没做出来，不会是要骗我的证明吧？但非常遗憾的一件事是：我昨天推送里引用的链接里就提及了这事啊！这饭都送到嘴边了，你怎么就不吃呢…可见我昨天的推送他压根就没细看，粗看知道自己放出的大话被无情击碎，便立刻匆匆忙忙准备转移阵地，开始“想后手”了。事实上，这个结果早在1878年就已经被Par M. Weill证明了，大家可以去读他的原始论文。这里我写一下用微元法的一个证明。

命题：分别以$\odot O$、$\odot I$为外接圆和内切圆的一族$n$边形的切点$n$边形的重心是定点.

Proof. 不妨设$\odot O$为单位圆，$\odot I$半径为$r$. 考虑两个这样的$n$边形$(A)=A _ 1\dots A _ n$和$(B)=B _ 1\dots B _ n$，及它们的切点$n$边形$(C)=C _ 1\dots C _ n$和$(D)=D _ 1\dots D _ n$. 我们考察当$(B)$趋向于$(A)$时情况会如何，设$A _ {i}A _ {i+1}$交$B _ iB _ {i+1}$于$X _ i$，则$\triangle A _ {i}B _ {i}X _ i\stackrel{-}{\sim}\triangle B _ {i+1}A _ {i+1}X _ i$说明$A _ {i}B _ i/B _ {i+1}A _ {i+1}=A _ {i}X _ i/B _ {i+1}X _ i$，由于$\lim\limits _ {(B)\to(A)}\dfrac{\angle A _ iOB _ i}{A _ iB _ i}=1$$\lim\limits _ {(B)\to(A)}\dfrac{\angle A _ iOB _ i}{\angle B _ {i+1}OA _ {i+1}}=\dfrac{A _ iC _ i}{C _ {i}A _ {i+1}}$，即知在$\odot O$的标准测度下，$\dfrac{dA _ i}{A _ iC _ i}=\dfrac{dA _ {i+1}}{A _ {i+1}C _ {i}}=\dfrac{dA _ {i+1}}{A _ {i+1}C _ {i+1}}$又可见$\lim\limits _ {(B)\to(A)}\dfrac{C _ iD _ i}{\angle A _ iOB _ i}=\lim\limits _ {(B)\to(A)}\dfrac{r\cdot\sin\angle A _ iX _ iB _ i}{\sin\angle{A _ iOB _ i}}=\lim\limits _ {(B)\to(A)}\dfrac{r\cdot\sin\angle A _ iX _ iB _ i}{2\sin\angle{A _ iA _ {i+1}B _ i}}=\dfrac{r\cdot A _ {i}A _ {i+1}}{2A _ iC _ i}$，则此时$(C)$的重心的坐标的微分就是$\displaystyle\sum\limits _ {i}\dfrac{r\cdot dA _ i}{2nA _ iC _ i}\cdot\overrightarrow{A _ iA _ {i+1}}=0$，于是$(C)$的重心并不随$(A)$的运动而改变.$\quad\Box$

事实上，这种“微元法”亦可以给出Poncelet闭合定理的另一种证明，关键就是通过$\dfrac{dA _ i}{A _ iC _ i}$给出$\odot O$上与$n$边形位置无关的一个测度，然后证明在这个测度诱导的坐标下$[A _ i\mapsto A _ {i+1}]$就是一个平移映射，这个证明大概是来自于Bertrand，前阵子王进一同学为2022年清华大学求真书院3月“Pi节”挑战赛命的第6题

便是对这个证明的重述。

史大爷的这种转移话题的话术已经不是一次两次了，很早的时候在几何大家玩里蔡桥老师证了叶中豪老师的一个问题，史大爷由于自身的水平太差并没有看懂，原题如下：

说来这个结论到底有多基础呢，就是说给定圆上三点$ABC$，若$M,N$分别是弧$BAC$和弧$BC$的中点，则$AM,AN$分别是$\angle BAC$的外角和内角平分线，相信但凡学过一些平面几何的学生对此应该都是相当熟知的，而史大爷以自己不知为由乱评价（他自己也知道是乱评价）：“十个学生六七八（九）个不知，应该很正常的吧”，如果一个学校里这种评价为真，我看这学校多半也算完了…于是史大爷立刻像被踩着了尾巴一样开始跳脚：“这么自信，是否要我来出几题？”，说实话我都不知道这个逻辑链是怎么过来的，自己不知道如此基础之结论，也没证出来，便开始吹嘘自己的水平，要“出题”考我，且不提你出出来的题你自己会不会做、难度又如何，“正常学生都应该知道这个结论并且会推导”这个事实和你出不出题到底有啥关系啊…这就是看自己水平暴露了，赶紧“谈下一话题”了。

希望大家都养成能“就题论题”的好习惯。