对2022CTST第一次测试P4的解答
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今年集训队头两天的考试完事了，还占了我们上课的教室（看到题之后异常感动，感觉好长时间没在正式比赛里见到这么常规的题目了（
两天出了两道平几，P1太过简单，而且TelvCohl在2014年证Dao’s Theorem的一篇文章里就把它当过一个引理，这里就不写了，P4是个蛮有意思的特殊图，这里写个解答出来。先放题目。
题目：锐角三角形$ABC$内接于$\odot O$，$\angle ACB>2\angle ABC$，$\triangle ABC$的内心为$I$，$I$关于BC对称点为$K$，$BA$延长线与$KC$延长线交于$D$，过$B$作与$CI$平行的直线交$\odot O$中劣弧$BC$于$E$ ($E\neq B$)，过$A$作与$BC$平行的直线与直线$BE$交于$F$。证明：若$BF=CE$，则$FK=AD$。
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首先一个关键问题就是怎么画出标准图，事实上通过$BF=CE$可以很容易地算出$\tan\angle ICB=2\sin\angle ABC$，所以其实直接暴力计算就可以做这个题（
Proof. 设弧$AB$中点为$S$，由$CI//BE$和鸡爪定理即知$SI=SC=SB=CE=BF$，且$SIBF$是平行四边形，于是$SF//BI$且$SF=BI=BK$. 又由
\[\begin{aligned}\angle ASF=&\angle ASC+\angle CSF\\=&\angle ABC+\angle FBI\\=&\angle FBI+\angle IBK\\=&\angle FBK,\end{aligned}\]故$\triangle ASF\cong\triangle FBK$. 由
\[\begin{aligned}\angle BDK=&\angle ACK-\angle DAC\\=&\frac{3}{2}\angle ACB+\angle BAC-180^\circ\\=&\angle SAC-\angle FAC\\=&\angle SAF=\angle BFK\end{aligned}\]可知$F、B、K、D$共圆，于是
\[\begin{aligned}\angle DFA=&\angle DFB-\angle BFA\\=&180^\circ-\angle BKC-\angle ICB\\=&\angle SIB-\angle ICB\\=&\angle IBC=\angle SFA,\end{aligned}\]这说明$D、F、S$共线. 于是$\angle FDA=\angle FKB=\angle SFA$，故$AD=AF=FK$. $\quad\Box$
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