对一个关联正方形相关题目的推广及证明

前阵子豪神旧事重提，把网友zyckk4写的纯几何吧1953中的59楼的结论拿出来问是否可以推广。先看一下原题。

问题：给定三角形$\triangle ABC$，以其三边为边分别向三角形外作正方形，其中心分别为$U$、$V$、$T$，$\triangle ABC$的垂三角形为$\triangle A’B’C’$，求证$UA’$、$VB’$、$TC’$​共点。

这个题之前我就见过，长得很像一个Cevian Nest，但对一般的内接Ceva三角形还不太对，其中还是有些特殊约束，于是我就给了下面这个推广，并把透视中心给了个刻画，然后给老顾让他发在我们爱几何上了。

推广：$\triangle DBC$、$\triangle ECA$、$\triangle FAB$是三个顺相似的以$\triangle ABC$三边为底边的等腰三角形，$I$、$J$、$K$分别是它们三个的内心。设$AD$、$BE$、$CF$分别交$BC$、$CA$、$AB$于$X$、$Y$、$Z$。求证：(1) $IX$、$JY$、$KZ$共点$Q$；(2) 设$I$关于$BC$的对称点为$I’$，则$\angle I’AB=\angle QAC$​。

当$D$是$BC$中垂线上的无穷远点时，就归结到原来的问题。这里我给的证明相当暴力，希望看略有一点几何的读者可以去看纯几何吧5962中豪神给的证明。

Proof. 考虑平面上关于$\triangle ABC$的三线坐标，即到三边的有向距离之比。设$\angle BCI=\theta$，则$I(-\sin\theta:\sin(C+\theta):\sin(B+\theta))$，故直线$AI$的坐标为$(-\sin\theta:\sin(C+\theta):\sin(B+\theta))\wedge(1:0:0)=(0:\sin(B+\theta):-\sin(C+\theta))^T$，轮换可得$AI$、$BJ$、$CK$共点$(\csc(A+\theta):\csc(B+\theta):\csc(C+\theta))$。类似可得若设$J$关于$CA$对称点为$J’$，$K$关于$AB$对称点为$K’$，则$AI’$、$BJ’$、$CK’$共点$Q’(\csc(A-\theta):\csc(B-\theta):\csc(C-\theta))$。于是要证明结论，只需证明$IX$经过$Q’$的等角共轭点$(\sin(A-\theta):\sin(B-\theta):\sin(C-\theta))$，注意到$X$的坐标为$(0:\sin(B+2\theta):-\sin(C+2\theta))^T\wedge(1:0:0)^T=(0:\sin(C+2\theta):\sin(B+2\theta))$，我们只需证明

这个行列式留给读者作为练习（其实是懒得再敲了）。$\quad\Box$​