对俄罗斯总理单尺作图题的推广

最近俄罗斯总理米舒斯京在2021.09.01视察莫斯科物理技术学院时提出的一个单尺作图题成为了一个网红题，题目如下。

题目：给定平面上一圆，以知$AB$为圆的直径，点$C$在圆周上，仅用一把没有刻度的直尺，作过$C$的$AB$垂线。

这个问题其实并不困难，在金磊老师的文章中已经提出了多种做法，不过其本质大抵用到了“直径所对圆周角是直角”这个性质以及圆的对称性，注意到仿射不变性，圆也可以变为任意的圆锥曲线。但事实上我们可以不画出锥线，而仅用其上几个点就完成任务，这里给出推广和我的做法。

推广：给定平面上五点$ABCDE$，以知$AB$为锥线$ABCDE$的主轴，仅用一把没有刻度的直尺，作过$C$的$AB$​垂线。

其实思路是很明晰的，主要是利用对称性，发现过$C$​的$AB$​垂线的极点一定要在$AB$​上，而且与垂足调和分割$AB$​​​这个事实，而调和共轭点是可以用单尺做出的，所以只需要用单尺做出$C$​处切线与$AB$​的交点即可，这事实上是熟知的利用Pascal定理的过程。不过这个步骤稍有瑕疵，就是$C$可能是$AB$的其中一个，这时候仍然只需做出切线即可。具体步骤如下。

Solution. 若$C$​​​不是$AB$​​​中某点，作$CD$​​​交$AE$​​​于$X$​​​，$AC$​​​交$BD$​​​于$Y$​​​，$BE$​​​交$XY$​​​于$Z$​​​，则对$AEBDCC$​​​由Pascal定理知$CZ$​​​为$C$​​​处切线，任取$AC$​​​上一点$W$​​，​​​作$BW$​交$CZ$​于$U$​，$AU$​交$BC$​于$V$，则$WV$与$AB$​的交点$P$就是所求直线的垂足，也即$CP$就是所求直线。$\quad\Box$