又一伪内切圆切点性质的推广的证明
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前两天占岩老师在几何教师协会群里发了如下问题：
问题：$\triangle ABC$内切圆切点三角形$\triangle DEF$，$N$在线段$BC$上且$BN=CD$，$EF$交$\odot(ABC)$于$P,Q$，$\odot(PQD)$交内切圆于$J$，求证$\angle BAN=\angle JAC$.
熟悉反演反射的话，一下就可以看出只需证明$AJ$过$\triangle ABC$的$A-$伪内切圆与$\odot(ABC)$的切点，也就是弧$BAC$中点与内心连线与$\odot(ABC)$的第二交点，而这让我想到了之前写的2021.09.11 一个伪内切圆切点性质的推广的证明（阅读本文前可以先阅读此文），顺水推舟，我们可以给出这个题目的推广以及证明。
推广：给定$\triangle ABC$及其外接圆$\odot O$，设$N$、$S$分别为弧$BAC$中点及其对径点，$P$是$AS$上一点，设$NP$与$\odot O$的第二交点为$T$，$\triangle DEF$是$P$关于$\triangle ABC$的垂足三角形，设$EF$交$\odot(ABC)$于$X$、$Y$两点，$\odot(DEF)$与$BC$的第二交点为$Z$，$\odot(XYZ)$与$\odot(DEF)$的第二交点为$K’$. 证明：$K’$在$AT$上.
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Proof. 过$Z$作$BC$垂线交$AS$于$Q$，则$Q$是$P$关于$\triangle ABC$的等角共轭点，于是$SP\cdot SQ=SB^2$，设$XY$交$BC$于$V$，交$AS$于$W$，$BC$中点为$M$，过$M$作$AS$垂线交$AB$于$C’$，交$AC$于$B’$，交$AS$于$L$，设$AS$交$BC$于$R$，于是$B’$和$C’$是$S$在$AC,AB$上的投影. 我们来证明$M\in\odot(XYZ)$，
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故$M\in\odot(XYZ)$，下面取$NQ$中点$O’$，则$O’$在$MZ$中垂线上，由$OO’//SQ\perp XY$知其也在$XY$中垂线上，故$O’$是$\odot(XYZ)$的圆心，设$PQ$中点为$U$，则$ZK’\perp O’U//NP$. 下过$D$作$AS$平行线交$AT$于$K$，由之前的文章可知$K\in\odot(DEF)$，于是$\angle K’KD=\angle K’ZV=\angle SNT=\angle SAK$，再由$KD//AS$即知$K’\in AK$，即$K’\in AT$. $\quad\Box$