对2021.09.21《我们爱几何》问题的推广与证明

直接上题：

问题：$O,H$分别是$\triangle ABC$​的外心、垂心，$\odot(AOH)$与$\odot(ABC)$的第二交点为$E$，$OH$与$\odot(BOC)$的第二交点为$F$。求证：$EF//AO$。

稍加思考，我们就可以找到如下推广。

推广：给定$\triangle ABC$​及其外心$O$​，$P$​是任意一点，$\odot(AOP)$​与$\odot(ABC)$​的第二交点为$X$​，$Q$​是$P$​关于$\triangle ABC$​的等角共轭点，过$X$​作$AQ$平行线交$OP$于$R$，交$\odot(ABC)$于与$X$不同的一点$S$，设$AP$与$\odot(ABC)$的第二交点为$T$，$OP$交$ST$于$Y$。证明：(1) $S$关于$\triangle ABC$的Simson线平行于$OP$；(2) $OR\cdot OY=OA^2$​。

当$P$为$\triangle ABC$垂心时，$TS$恰为$OP$关于$BC$的对称像，于是$Y$在$BC$上，$R$在$\odot(BOC)$上，这恰是原本的问题。证明其实导角就可以，相当容易。

Proof. 设$AQ$与$\odot(ABC)$的第二交点为$Z$​，则$Z$的Simson线垂直于$AP$，且其与$S$的Simson线夹角为$\angle ZXS=\angle AZX=90^\circ-\angle AXO=90^\circ-\angle APO$，故其平行于$OP$。又$OA=OX$，故$\angle OPX=\angle OPT$，即$X,T$关于$OP$对称，当然$OR$平分$\angle TRS$，又$OT=OS$​，故$O,T,S,R$​共圆，于是$\angle ORT=\angle OST=\angle OTY$，由$\triangle ORT\stackrel{-}{\sim}\triangle OTY$即证结论。$\quad\Box$