对2021.09.21《我们爱几何》问题的推广与证明
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直接上题:
问题:$O,H$分别是$\triangle ABC$的外心、垂心,$\odot(AOH)$与$\odot(ABC)$的第二交点为$E$,$OH$与$\odot(BOC)$的第二交点为$F$。求证:$EF//AO$。
稍加思考,我们就可以找到如下推广。
推广:给定$\triangle ABC$及其外心$O$,$P$是任意一点,$\odot(AOP)$与$\odot(ABC)$的第二交点为$X$,$Q$是$P$关于$\triangle ABC$的等角共轭点,过$X$作$AQ$平行线交$OP$于$R$,交$\odot(ABC)$于与$X$不同的一点$S$,设$AP$与$\odot(ABC)$的第二交点为$T$,$OP$交$ST$于$Y$。证明:(1) $S$关于$\triangle ABC$的Simson线平行于$OP$;(2) $OR\cdot OY=OA^2$。
当$P$为$\triangle ABC$垂心时,$TS$恰为$OP$关于$BC$的对称像,于是$Y$在$BC$上,$R$在$\odot(BOC)$上,这恰是原本的问题。证明其实导角就可以,相当容易。
Proof. 设$AQ$与$\odot(ABC)$的第二交点为$Z$,则$Z$的Simson线垂直于$AP$,且其与$S$的Simson线夹角为$\angle ZXS=\angle AZX=90^\circ-\angle AXO=90^\circ-\angle APO$,故其平行于$OP$。又$OA=OX$,故$\angle OPX=\angle OPT$,即$X,T$关于$OP$对称,当然$OR$平分$\angle TRS$,又$OT=OS$,故$O,T,S,R$共圆,于是$\angle ORT=\angle OST=\angle OTY$,由$\triangle ORT\stackrel{-}{\sim}\triangle OTY$即证结论。$\quad\Box$