2021全国高中数学联赛A1卷P1的推广及证明

今天是部分地区高联的日子，A1卷二试的平面几何放在了P1，原题如下。

题目：如图，在$\triangle ABC$中，$AB>AC$，$\triangle ABC$内两点$X,Y$均在$\angle BAC$的平分线上，且满足$\angle ABX=\angle ACY$，设$BX$的延长线与线段$CY$交于点$P$，$\triangle BPY$的外接圆$\omega_1$与$\triangle CPX$的外接圆$\omega_2$交于$P$与另一点$Q$。证明：$A,P,Q$三点共线。

这个证明还是相当容易的。

Proof. 设$AX$​​分别交$\omega_2,\omega_1$​于另一点$X’,Y’$​，则$AYX’C\stackrel{-}{\sim}AXY’B$​，故$AY\cdot AY’=AX\cdot AX’$​，故$A$​在两圆根轴$PQ$​上。$\quad\Box$

然后这个题目让我和豪神不约而同地想到了去年十月我俩研究出的一些成果：

顺着这个路子，很容易就能给出推广了，不过我下午要去听京剧来着，所以就没去尝试，豪神先把推广敲了出来，并且给出了一个向量法的证明，可以参看纯几何吧里关于这题的讨论贴，不过在这里我还是再把这个推广给一遍，并给出另外一个证明。

推广：给定$\triangle ABC$及两点$X,Y$使得$\triangle ABX\stackrel{-}{\sim}\triangle ACY$，若一点$P$在$BX,BY,CX,CY$四边上的投影共圆（i.e. $P$在$(BX,BY,CX,CY)$的巨龙曲线上），则$A$在$\odot(BPY)$与$\odot(CPX)$​的根轴上。

正如上面聊天记录里所说，这个推广的证明就是利用巨龙曲线上的加法群稍微导一下。

Proof. 设出$(BX,BY,CX,CY)$​​的巨龙曲线$\mathcal{C}$​​即其上的等角共轭变换$\mathbf{g}$​​与Miquel点$M$​​，Newton线$\mathcal{N}$​​，显然$A,P\in\mathcal{C}$​​​，设$BX\cap AM=U$​，则

$\dfrac{AU}{MU}=\dfrac{AB\sin\angle ABX}{BM\sin\angle MBX}=\dfrac{AC\sin\angle ACY}{CM\sin\angle MCY}$，故$U\in CY$，于是$U\in\mathcal{C}$，设$BY\cap CX=V$，则由完全四边形的等角线性质及$A\in UM$知$A\in V\mathbf{g}M$，即$AV//\mathcal{N}$，设$AP$与$\mathcal{C}$的第三交点为$Q$，故对两圆环点$ij$所在的无穷远线、$BY$、$AP$由Cayley-Bacharach定理有$B,P,Q,Y$共圆，同理$C,P,Q,X$共圆，即证原命题。$\quad\Box$