对2021 IMOC G11的推广与证明

昨天何姐来向我求助下面这个题：

题目：$\triangle ABC$的内切圆分别与$BC$，$CA$，$AB$切于$D$，$E$，$F$。$B$，$C$在$AD$上的投影为$U$，$V$；$C$，$A$在$BE$上的投影为$W$，$X$；$A$，$B$在$CF$上的投影为$Y$，$Z$​。证明：由直线$UX$，$VY$，$WZ$确定的三角形的外接圆与$\triangle ABC$的内切圆相切。

这种对称的东西和内切圆相切，稍加猜测大概就能猜出切点是Feuerbach点，这时候动动脑筋动动手，大概就知道此题可以推广，稍加试探就可以有如下推广：

推广：给定$\triangle ABC$，$P$是平面上一动点，$B$，$C$在$AP$上的投影为$U$，$V$；$C$，$A$在$BP$上的投影为$W$，$X$；$A$，$B$在$CP$上的投影为$Y$，$Z$。证明：由直线$UX$，$VY$，$WZ$确定的三角形的外接圆与$\triangle ABC$的九点圆相切于$ABCP$​的Poncelect点$O’$​。

注意到$P$取Gergonne点时，由Feuerbach定理就得到原题的结果，所以我们只要证明推广结果就足够了。

很不幸地是，豪神告诉我lf°wjo◆已经发现过这个结论了，就发在纯几何吧5620这个帖子里，而且他还在群里发了个做法，我估计就是在做同一个题时发现的结果，不过最后的倔强还是让我想自己证明一下这个结果（

我们当然先做出过$ABCP$​的等轴双曲线$\mathcal{H}$​，设$\triangle ABC$​的垂心为$H$​，则$H\in\mathcal{H}$​，$O’$​是$\mathcal{H}$​的中点。由Brocard定理立刻看出$UX$​关于$\mathcal{H}$​的极点就是$P$​在$AB$​上的投影，轮换地，我们做出$P$​关于$\triangle ABC$​的垂足三角形$\triangle P_1P_2P_3$​，于是其与题目中那个三条线围成的奇怪三角形关于$\mathcal{H}$​互相配极，这样那个奇奇怪怪的三角形就被搞懂了，但是外接圆恐怕还是不是很好办，这时候我们已经离导角越来越远了，所以一个想法是反演，这明显应该关于$O’$​反演，具体如何操作呢？我想到了一个引理：

引理：设等轴双曲线$\mathcal{H}$中心为$O$，任意两点$A$，$B$的极线分别为$l_A$，$l_B$​，$O$在$l_A$，$l_B$上的投影分别为$H_A$，$H_B$，则$\triangle OAB\stackrel{+}{\sim}\triangle OH_BH_A$。

这个引理可以通过解析法直接证明，设$\mathcal{H}$的方程为$x^2-y^2=1$​即可，具体细节不赘述了。下面回到原题。

基于此，我们知道存在一个以$O’$为中心的反演反射变换$\varphi$，把平面上一点变为$O’$在其关于$\mathcal{H}$的极线上的投影，下面记一点$ * $关于一个三角形$\triangle$的Simson线为$\mathbf{S} _ \triangle^ * $，注意到刚才我们推出$\triangle P_1P_2P_3$与围出三角形配极，$\triangle ABC$的垂三角形$\triangle DEF$由Brocard定理是自配极三角形，于是原命题等价于说$\mathbf{S} _ {\triangle P_1P_2P_3}^{O’}//\mathbf{S} _ {\triangle DEF}^{O’}$（注意由于$O’$是$ABCP$的Poncelect点，于是这两条Simson线确实存在，这也就说明了那个围成三角形的外接圆确实经过$O’$），而这事实上是Poncelet点一个熟知的结果，证明可以参见Simson line wrt pedal triangle，这里也不再证一遍了。