2021全国高中数学联赛A卷P2推广及证明

今天是部分无疫情地区高联的日子，A卷二试的平面几何放在了P2，原题如下。

题目：如图所示，在$\triangle ABC$​中，$M$​是边$AC$​的中点，$D$​、$E$​是$\triangle ABC$​的外接圆在点$A$​处的切线上的两点，满足$MD//AB$​且$A$​是线段$DE$​的中点，过$A$​、$B$​、$E$​三点的圆与边$AC$​相交于另一点$P$​，过$A$​、$D$​、$P$三点的圆与$DM$的延长线相交于点$Q$。证明：$\angle BCQ=\angle BAC$​。​​

本题证明很容易，如果证出来之后想到如何推广恐怕更加容易，所以我直接放推广在这然后进行证明了。

推广：给定$\triangle ABC$​​及$AC$​​上一点$M$​​，过$M$​​且平行于$AB$​​的直线与过$A$​​的$\odot(ABC)$​​的切线交于$D$​​，$E$​是直线$AD$​上一点且满足$\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{CM}}$​。设$P$​为$\odot(AEB)$​与$AC$​的第二交点，$Q$​为$\odot(DAP)$​与$DM$​的第二交点。证明：$\angle QCB=\angle BAC$​。

Proof. 设$CQ$交$AB$于$R$，$\overline{AM}=t\overline{AC}$，则由$\angle DQP=\angle DAP=\angle ABC$且$DQ//AB$知$PQ//BC$，由

知$A$、$R$、$P$、$Q$、$D$共圆，即$\angle QCB=\angle PQC=\angle BAC$。$\quad\Box$