对2021 CGMO P7的证明

今天这题没发现什么推广的空间，直接放题目和证明：

题目：给定$\triangle ABC$​及其外心$O$​，$K$​是$B$关于$AC$的对称点，$L$是$C$关于$AB$的对称点，$X$满足$AX\perp BC$且$XK=XL$，过$X$​作$CK$垂线交$BK$于$Y$，作$BL$垂线交$CL$于$Z$. 求证：$B$、$O$、$C$、$Y$、$Z$共圆.

这属于基本构型了，直接找旋转相似就好了。

Proof. 设$BL$、$CK$交于点$P$，$O$关于$\odot(BOC)$对径点为$Q$，则$Q$在$\odot(PLK)$上且$Q$在$LK$中垂线上，设$Q$关于$\odot(PLK)$的对径点为$R$，则$\triangle QOR\sim\triangle QCK$，注意到$\dfrac{QC}{QO}=\sin\angle BAC=\dfrac{CK}{2AO}$且$\angle AOQ=\angle KCQ$，故由相似对应知$A$是$OR$中点. 再由$AX//OQ$知$X$是$QR$中点，即$X$是$\triangle PKL$外心. 故$\angle ZPB=\angle ZLP=\angle BCZ$，于是$Z$在$\odot(BCO)$上，同理$Y$也在其上.$\quad$$\Box$