对2021 CGMO P7的证明

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今天这题没发现什么推广的空间,直接放题目和证明:

题目:给定$\triangle ABC$​及其外心$O$​,$K$​是$B$关于$AC$的对称点,$L$是$C$关于$AB$的对称点,$X$满足$AX\perp BC$且$XK=XL$,过$X$​作$CK$垂线交$BK$于$Y$,作$BL$垂线交$CL$于$Z$. 求证:$B$、$O$、$C$、$Y$、$Z$共圆.

这属于基本构型了,直接找旋转相似就好了。

Proof. 设$BL$、$CK$交于点$P$,$O$关于$\odot(BOC)$对径点为$Q$,则$Q$在$\odot(PLK)$上且$Q$在$LK$中垂线上,设$Q$关于$\odot(PLK)$的对径点为$R$,则$\triangle QOR\sim\triangle QCK$,注意到$\dfrac{QC}{QO}=\sin\angle BAC=\dfrac{CK}{2AO}$且$\angle AOQ=\angle KCQ$,故由相似对应知$A$是$OR$中点. 再由$AX//OQ$知$X$是$QR$中点,即$X$是$\triangle PKL$外心. 故$\angle ZPB=\angle ZLP=\angle BCZ$,于是$Z$在$\odot(BCO)$上,同理$Y$也在其上.$\quad$$\Box$