2021北大夏令营P2的证明

昨天下午突然看到Clarszind的QQ群里说北夏的题出来了，试着做了一下，感觉几何题出的还是很漂亮的（注(2022.04.03)：今天跟yz恰火锅，他告诉我这题是他出的…），先放题目（因为出来的是考生回忆版，我稍微改动了一下叙述，但题意没改）

题目：给定$\triangle ABC$及其内心$I$，$D$是$AC$中点，过$A$作$AE\perp BI$，垂足为$E$，$F$为$AC$上一点，作$\odot (DEF)$交过$D$且垂直于$BI$的直线于$D$、$K$两点，设$DK$交$EF$于$J$. 求证：$\odot(JKF)$与$\triangle ABC$的内切圆相切.

这种两圆相切的题一般要么是找切点要么就是反演去做，这里感觉反演没什么好处，还是中规中矩地找切点，一个想法就说利用位似，$JF$和$FK$在内切圆里的平行弦都不太好找，但$JK$方向恒定，在内切圆里也有现成的平行弦，设出$\triangle ABC$的切点三角形$\triangle LMN$，则我们大胆猜测$JL$和$NK$的交点就是切点，但这样势必导致后面的步骤不好写，因为这样要证明$T$同时在两个圆上就要去计算这两条线的夹角，而这哪哪都不挨边，那我们还是不妨假设它是一条线和一个圆的交点好了，这样提供的信息会更多。显然再往后的路子导角应当行不通，肯定是导导圆幂去证，考虑到$K$处能提供的圆幂信息实在太少，我们选择设出$T$为$JL$和内切圆的第二交点好了。

下面要做的事情就是证明$T$在$NK$和$\odot(JKF)$​上，这诱使我们去计算$\angle JTK$，若能说明它等于$\angle LMN=\angle NTL=\angle KFE$，那整道题就做完了，因为此时$T$既在$NK$上，又在$\odot(JKF)$上，由$JK//NL$，$\odot(TJK)$与$\odot(TNL)$相切，这正是要证明的结论。那如何去计算$\angle JTK$呢，这里需要一点小观察，我们寄希望于通过某个共圆加圆幂将其推导出来，或许$JD$和$BC$的交点$X$会是一个不错的选择。那么接下来要证明的事情就变成$JT\cdot JL=JK\cdot JX$了。

这也就是说我们要计算$J$到内切圆的圆幂，我们都知道$JD$是内切圆与$B$-旁切圆的根轴，但是此时设出旁切圆去不能说是明智之举，而且可以说是相当愚蠢，因为这相当于把一个不好办的圆幂导到了一个更不好办的圆幂上去。那我们如何去导呢，一个自然的想法是去寻找内切圆与$B$​-旁切圆所确定的共轴圆组里其他的圆，但这时候再设圆简直是越搞越乱，那我们就去找极限点好了（熟知的结果告诉我们$XEDC$是平行四边形，注意到$XE=XL$，所以事实上$E$正是一个极限点！也就是说$JD$是内切圆和点圆$E$的根轴，即我们最后要证明的就是$JE^2=JK\cdot JX$。考虑到我们天然有了$JE\cdot JF=JK\cdot JD$，所以只需要证明$\dfrac{JF}{JE}=\dfrac{JD}{JX}$，而这等价于说$XE//FD$，这当然是不言自明的。

接下来我们把证明过程完整叙述一遍。

Proof. 设出$\triangle ABC$​的切点三角形$\triangle LMN$​。设$JL$​交$\odot(LMN)$​于$T$​、$L$​两点，$DK$​交$BC$​于$X$​，则由中位线知$A$​关于$BI$​的对称点与$A$​、$C$​构成的三角形的中点三角形为$\triangle DEX$​，特别地$EX//AC$​，于是\(JE^2=JF\cdot JE\cdot\dfrac{JE}{JF}=JK\cdot JD\cdot\dfrac{JX}{JD}=JK\cdot JX\)​。又由$XE=\dfrac{AC}{2}=XL$​且$XJ\perp EI$​，故点圆$E$​与$\odot(LMN)$​的根轴恰好为$DK$​，故$JT\cdot JL=JE^2=JD\cdot JX$​，即$T$​、$L$​、$X$​、$K$共圆,于是$\angle KTJ=\angle JXL=\angle BLN=\angle NTL$，故$N$、$T$、$K$​共线。又$\angle JTK=\angle DXC=\angle EDX=\angle KFE$，故$T$也在$\odot(JKF)$上，又$JK//LN$，故$\odot(JKT)$与$\odot(LTN)$相切，这恰为欲证结论。$\quad\Box$

如果再细致一点，考虑我刚才所说的$J$到$B$-旁切圆的圆幂，读者会发现上面的证明完全可以套用，最后将得到$\odot(JKF)$与$B$-旁切圆也相切，这正是我说此题漂亮之点，它可以刻画出某种Steiner圆链是如何切割根轴的。