2021北大夏令营P2的证明
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昨天下午突然看到Clarszind的QQ群里说北夏的题出来了,试着做了一下,感觉几何题出的还是很漂亮的(注(2022.04.03):今天跟yz恰火锅,他告诉我这题是他出的…),先放题目(因为出来的是考生回忆版,我稍微改动了一下叙述,但题意没改)
题目:给定$\triangle ABC$及其内心$I$,$D$是$AC$中点,过$A$作$AE\perp BI$,垂足为$E$,$F$为$AC$上一点,作$\odot (DEF)$交过$D$且垂直于$BI$的直线于$D$、$K$两点,设$DK$交$EF$于$J$. 求证:$\odot(JKF)$与$\triangle ABC$的内切圆相切.
这种两圆相切的题一般要么是找切点要么就是反演去做,这里感觉反演没什么好处,还是中规中矩地找切点,一个想法就说利用位似,$JF$和$FK$在内切圆里的平行弦都不太好找,但$JK$方向恒定,在内切圆里也有现成的平行弦,设出$\triangle ABC$的切点三角形$\triangle LMN$,则我们大胆猜测$JL$和$NK$的交点就是切点,但这样势必导致后面的步骤不好写,因为这样要证明$T$同时在两个圆上就要去计算这两条线的夹角,而这哪哪都不挨边,那我们还是不妨假设它是一条线和一个圆的交点好了,这样提供的信息会更多。显然再往后的路子导角应当行不通,肯定是导导圆幂去证,考虑到$K$处能提供的圆幂信息实在太少,我们选择设出$T$为$JL$和内切圆的第二交点好了。
下面要做的事情就是证明$T$在$NK$和$\odot(JKF)$上,这诱使我们去计算$\angle JTK$,若能说明它等于$\angle LMN=\angle NTL=\angle KFE$,那整道题就做完了,因为此时$T$既在$NK$上,又在$\odot(JKF)$上,由$JK//NL$,$\odot(TJK)$与$\odot(TNL)$相切,这正是要证明的结论。那如何去计算$\angle JTK$呢,这里需要一点小观察,我们寄希望于通过某个共圆加圆幂将其推导出来,或许$JD$和$BC$的交点$X$会是一个不错的选择。那么接下来要证明的事情就变成$JT\cdot JL=JK\cdot JX$了。
这也就是说我们要计算$J$到内切圆的圆幂,我们都知道$JD$是内切圆与$B$-旁切圆的根轴,但是此时设出旁切圆去不能说是明智之举,而且可以说是相当愚蠢,因为这相当于把一个不好办的圆幂导到了一个更不好办的圆幂上去。那我们如何去导呢,一个自然的想法是去寻找内切圆与$B$-旁切圆所确定的共轴圆组里其他的圆,但这时候再设圆简直是越搞越乱,那我们就去找极限点好了(熟知的结果告诉我们$XEDC$是平行四边形,注意到$XE=XL$,所以事实上$E$正是一个极限点!也就是说$JD$是内切圆和点圆$E$的根轴,即我们最后要证明的就是$JE^2=JK\cdot JX$。考虑到我们天然有了$JE\cdot JF=JK\cdot JD$,所以只需要证明$\dfrac{JF}{JE}=\dfrac{JD}{JX}$,而这等价于说$XE//FD$,这当然是不言自明的。
接下来我们把证明过程完整叙述一遍。
Proof. 设出$\triangle ABC$的切点三角形$\triangle LMN$。设$JL$交$\odot(LMN)$于$T$、$L$两点,$DK$交$BC$于$X$,则由中位线知$A$关于$BI$的对称点与$A$、$C$构成的三角形的中点三角形为$\triangle DEX$,特别地$EX//AC$,于是\(JE^2=JF\cdot JE\cdot\dfrac{JE}{JF}=JK\cdot JD\cdot\dfrac{JX}{JD}=JK\cdot JX\)。又由$XE=\dfrac{AC}{2}=XL$且$XJ\perp EI$,故点圆$E$与$\odot(LMN)$的根轴恰好为$DK$,故$JT\cdot JL=JE^2=JD\cdot JX$,即$T$、$L$、$X$、$K$共圆,于是$\angle KTJ=\angle JXL=\angle BLN=\angle NTL$,故$N$、$T$、$K$共线。又$\angle JTK=\angle DXC=\angle EDX=\angle KFE$,故$T$也在$\odot(JKF)$上,又$JK//LN$,故$\odot(JKT)$与$\odot(LTN)$相切,这恰为欲证结论。$\quad\Box$
如果再细致一点,考虑我刚才所说的$J$到$B$-旁切圆的圆幂,读者会发现上面的证明完全可以套用,最后将得到$\odot(JKF)$与$B$-旁切圆也相切,这正是我说此题漂亮之点,它可以刻画出某种Steiner圆链是如何切割根轴的。