一个证明切线小题

昨天回高中自习的时候，有个学弟问了我一道小题目：

整理一下语言，题目如下。

题目：给定$\triangle ABC$及其外心$O$、内心$I$、垂心$H$，$D$是弧$BC$中点，$E$是$H$关于$BC$的对称点，设$OH$交$DE$于$T$. 求证：若$OI//BC$，则$AT$与$\odot(ABC)$相切.

大概看了5分钟，觉得可以用交比一试，稍微算了一下最后导出一个三角式，算了半天感觉也不算困难，不过后来定睛一看发现也不太用三角计算，直接一步相似对应就导出来了。话不多说，直接放证明。

Proof. 取$A$​、$D$​关于$O$​的对称点$X$​、$N$​，设$AD$​分别交$OT$​、$BC$​于$P$​、$Q$​，则$\angle OID=\angle AQC=\angle ODE=\angle OED$​，即$O$​、$I$​、$E$​、$D$​共圆，于是$\angle DEI$​为直角，故$N$​、$I$​、$E$​共线. 取$BC$​中点$M$​，由$\dfrac{AH}{DN}=\dfrac{OM}{OD}=\dfrac{IQ}{ID}=\dfrac{AI}{AD}$​可以知道$\triangle AHI\stackrel{+}{\sim}\triangle DNA$​，故$IH\perp IA$​，又$\triangle AIE\stackrel{-}{\sim}\triangle DOA$​，于是由相似对应知$\dfrac{HE}{AH}=\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{IE}{ID}=\sin\angle ADE$​. 过$D$作$DY//BC$，则

\(\begin{aligned}A(OH,IT)=&\dfrac{OP/PH}{OT/TH}=\dfrac{AO/AH}{OD/HE}\\=&\dfrac{EH}{AH}= \sin\angle ADE\\=&\dfrac{\sin\angle XDY/\sin\angle YDT}{\sin\angle XDA/\sin\angle ADE}\\=&D(XE,YA)=(XE,DA)_{\odot(ABC)}\\ =&A(XE,DA)_{\odot(ABC)}=A(OH,IA),\end{aligned}\)​​

故$AT$​为$\odot(ABC)$​在$A$​处的切线.$\quad\Box$​​​