对2021 IMO P3的证明
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今天早上六点多醒来,看到了今年IMO试题发布,虽然有个几何P3但当时一点也没心情做,因为昨天晚上喝的稍微有点多(喝了点蜂蜜水又躺了一会恢复恢复状态就到八点了,尝试做了一下,赶在九点半度量黎曼几何课之前做出来了,趁着休息迅速码一下字(
比较谔谔的一点是我发现我与标答几乎处处撞车QAQ所以为了防止被说抄袭我会讲一讲每步都咋想的,,
先放题目:
设$D$是锐角三角形$ABC$($AB>AC$) 内部一点, 使得$\angle DAB = \angle CAD$. 线段$AC$上的点$E$满足$\angle ADE =\angle BCD$, 线段$AB$上的点$F$满足$\angle FDA = \angle DBC$, 且直线$AC$上的点$X$满 足$CX = BX$. 设$O_1$和$O_2$分别为$\triangle ADC$和$\triangle EXD$的外心. 证明: 直线$BC$, $EF$和$O_1O_2$共点.
首先我看到了$\angle EDF+\angle BDC=\pi$,一瞬想到$D$关于$\triangle ABC$和$\triangle AEF$有公共的等角共轭点,那就先摆出来在这,比如说是点$D^ * $,而且又由于$D$在$\angle BAC$角分线上,所以当然$D^$也在上面。那么$\angle FBD^ * =\angle DBC=\angle ADF$,这就说明$B,F,D,D^$共圆,同理$C,E,D,D^$共圆,于是$AF\cdot AB=AD\cdot AD^=AE\cdot AC$,即得$B,F,E,C$共圆.
有了这个之后$EF$的方向就被定死了,之后想做的就是刻画$O_1O_2$的方向,不过这俩圆心风马牛不相及,那唯一的出路就是刻画公共弦了,为了刻画公共弦当然要找共轴圆,所以可以设出$\odot(DXE)$和$\odot(ADC)$的第二交点$D’$,稍加试验(板绘的好处,考场上我肯定搞不出来)可以发现$\odot(DD’B)$是一个比较好的圆,上面还有俩比较特殊的点,一个是$BD^ * $和$DE$的交点,另一个是$BFEC$的Miquel点,但第一个看上去没啥办法搞,无论是导角还是导幂都不好办,相比较之下可能还是取出Miquel点$M$. 设$EF\cap BC=T$,则由$BCEF$共圆知$M\in TA$且$TM\cdot TA=TB\cdot TC=TE\cdot TF$。
如果有了这个之后是不是就能做完了呢?可能还差一些,因为上面的式子诱导我们去考虑$T$为中心,$TM\cdot TA$为幂的反演变换,似乎此时$D,D’,D^*$都应该不动然后直接把$\odot(DD’B)$与$\odot(ADC)$互变,那样的话这两个圆的连心线(当然也是$O_1O_2$)就过$T$而完成证明了,事实也是如此。所以接下来问题很明晰了,要证的无非两件事:1) $D,D’,M,B$共圆;2) $TB\cdot TC=TD^2$。
由于$D,D’$这些东西都是悬着的,导角比较费事,那我们还是试着导幂,取$MB$和$AC$的交点$P$,只要证明$P$也在$DD’$上就能证明1)了。考虑$\angle BME=\angle AME-\angle AMB=\pi-\angle AFE-\angle ACB=\pi-2\angle ACB=\angle BXE$,我们有$B,X,E,M$共圆,这就说明$PE\cdot PX=PM\cdot PB=PA\cdot PC$,也即是说$P$对$\odot(XDE)$和$\odot(ACD)$的圆幂相等,故$P\in DD’$,这推出$PD\cdot PD’=PA\cdot PC=PM\cdot PB$,也就是$D,D’,M,B$共圆。
最后剩下的就是$TB\cdot TC=TD^2$了,因为$B,C,E,F$共圆,于是事实上我们可以考虑更强的结果,比如$\odot(DEF)$和$\odot(DBC)$相切,而这来自于
\[\begin{aligned}\angle CDE&=\angle AED-\angle ACD\\&=\angle AED-\angle AD^*E\\&=\angle AED-(\angle AFE-\angle ADE)\\&=\pi-\angle DAE-\angle ACB\\&=\pi-\dfrac{1}{2}\angle BAC-\angle ACB\end{aligned}\]和
\[\begin{aligned}&\angle DFE+\angle DBC\\=&\angle DFE+\angle ADF\\=&\angle DAE+\angle AEF\\=&\pi-\dfrac{1}{2}\angle BAC-\angle ACB。\end{aligned}\]于是由Monge定理$TD$就是两圆公切线且$TD^2=TB\cdot TC$。
这样逻辑链条就顺下来了,考虑$T$为中心,$TM\cdot TA$为幂的反演变换,其将$\odot(DD’B)$与$\odot(ADC)$互变,于是这两个圆的连心线(当然也是$O_1O_2$)也经过反演中心$T$。QED!