对2021 IMO P3的证明

今天早上六点多醒来，看到了今年IMO试题发布，虽然有个几何P3但当时一点也没心情做，因为昨天晚上喝的稍微有点多（喝了点蜂蜜水又躺了一会恢复恢复状态就到八点了，尝试做了一下，赶在九点半度量黎曼几何课之前做出来了，趁着休息迅速码一下字（

比较谔谔的一点是我发现我与标答几乎处处撞车QAQ所以为了防止被说抄袭我会讲一讲每步都咋想的，，

先放题目：

设$D$是锐角三角形$ABC$($AB>AC$) 内部一点, 使得$\angle DAB = \angle CAD$. 线段$AC$上的点$E$满足$\angle ADE =\angle BCD$, 线段$AB$上的点$F$满足$\angle FDA = \angle DBC$​, 且直线$AC$上的点$X$满 足$CX = BX$. 设$O_1$和$O_2$​分别为$\triangle ADC$和$\triangle EXD$​的外心. 证明: 直线$BC$, $EF$和$O_1O_2$共点.

首先我看到了$\angle EDF+\angle BDC=\pi$，一瞬想到$D$关于$\triangle ABC$和$\triangle AEF$有公共的等角共轭点，那就先摆出来在这，比如说是点$D^ * $，而且又由于$D$在$\angle BAC$角分线上，所以当然$D^$也在上面。那么$\angle FBD^ * =\angle DBC=\angle ADF$，这就说明$B,F,D,D^$共圆，同理$C,E,D,D^$共圆，于是$AF\cdot AB=AD\cdot AD^=AE\cdot AC$，即得$B,F,E,C$共圆.

有了这个之后$EF$的方向就被定死了，之后想做的就是刻画$O_1O_2$的方向，不过这俩圆心风马牛不相及，那唯一的出路就是刻画公共弦了，为了刻画公共弦当然要找共轴圆，所以可以设出$\odot(DXE)$和$\odot(ADC)$的第二交点$D’$，稍加试验（板绘的好处，考场上我肯定搞不出来）可以发现$\odot(DD’B)$是一个比较好的圆，上面还有俩比较特殊的点，一个是$BD^ * $和$DE$的交点，另一个是$BFEC$的Miquel点，但第一个看上去没啥办法搞，无论是导角还是导幂都不好办，相比较之下可能还是取出Miquel点$M$. 设$EF\cap BC=T$，则由$BCEF$共圆知$M\in TA$且$TM\cdot TA=TB\cdot TC=TE\cdot TF$。

如果有了这个之后是不是就能做完了呢？可能还差一些，因为上面的式子诱导我们去考虑$T$​为中心，$TM\cdot TA$​为幂的反演变换，似乎此时$D,D’,D^*$​都应该不动然后直接把$\odot(DD’B)$​与$\odot(ADC)$​互变，那样的话这两个圆的连心线（当然也是$O_1O_2$​）就过$T$​而完成证明了，事实也是如此。所以接下来问题很明晰了，要证的无非两件事：1) $D,D’,M,B$共圆；2) $TB\cdot TC=TD^2$。

由于$D,D’$这些东西都是悬着的，导角比较费事，那我们还是试着导幂，取$MB$和$AC$的交点$P$，只要证明$P$也在$DD’$上就能证明1)了。考虑$\angle BME=\angle AME-\angle AMB=\pi-\angle AFE-\angle ACB=\pi-2\angle ACB=\angle BXE$，我们有$B,X,E,M$共圆，这就说明$PE\cdot PX=PM\cdot PB=PA\cdot PC$，也即是说$P$对$\odot(XDE)$和$\odot(ACD)$的圆幂相等，故$P\in DD’$，这推出$PD\cdot PD’=PA\cdot PC=PM\cdot PB$，也就是$D,D’,M,B$共圆。

最后剩下的就是$TB\cdot TC=TD^2$了，因为$B,C,E,F$共圆，于是事实上我们可以考虑更强的结果，比如$\odot(DEF)$和$\odot(DBC)$相切，而这来自于

和

于是由Monge定理$TD$就是两圆公切线且$TD^2=TB\cdot TC$。

这样逻辑链条就顺下来了，考虑$T$为中心，$TM\cdot TA$为幂的反演变换，其将$\odot(DD’B)$与$\odot(ADC)$互变，于是这两个圆的连心线（当然也是$O_1O_2$）也经过反演中心$T$。QED！