Thom同构的一个小习题
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本题是这两天看GTM82时做到的.
习题：对流形$M$，设$\pi:E\to M$是一个秩为$2$的可定向向量丛，其Thom类为$\Phi$，试寻找一个$u\in H^ * (M)$使得$\Phi^2$和$\Phi\wedge\pi^ * u$在$H _ {cv}^ * (E)$中相等.
Proof. 我们断言$E$的Euler类$e(E)\in H^2(M)$即为所求. 首先注意到对Thom同构$\pi _ * :H _ {cv}^ * (E)\to H^{ * -2}(M)$，其逆映射就是$\wedge\Phi$，于是要找的就是$u=\pi _ * (\pi^ * u\wedge\Phi)=\pi _ * (\Phi\wedge\pi^ * u)=\pi _ * (\Phi^2)$，下面来证明$\pi _ * (\Phi^2)=e$. 设$E$有一个平凡化${U _ \alpha}$，记一个从属于其的单位分解${\rho _ \alpha}$. 在$E$带上黎曼度量后，可以在$E\vert _ {U _ \alpha}\setminus{0}$上定义极坐标$r _ \alpha,\theta _ \alpha$，当然在$U _ \alpha\cap U _ \beta$上$r$没有变化，但$\theta$可能会差一个旋转. 同时由$E$的结构群可以被约化到$SO(2)$，其转移函数$g _ {\alpha\beta}$可视为一个二维旋转，当然也可视为复平面上的旋转，也即乘上一个$e^{i\theta}$. 下取一个光滑函数$\rho:[0,+\infty)\to [-1,0]$，满足在$0$的一个小邻域内恒为$-1$，在充分大时恒为$0$，则在$U _ \alpha$上有$\displaystyle\Phi=d\left(\rho(r)\dfrac{d\theta _ \alpha}{2\pi}\right)+\dfrac{1}{2\pi i}d\left(\rho(r)\pi^ * \sum _ \gamma\rho _ \gamma d\log g _ {\gamma\alpha}\right)$. 首先由$d\theta\wedge d\theta=0$和$d^2=0$知$d\left(\rho(r)\dfrac{d\theta _ \alpha}{2\pi}\right)\wedge d\left(\rho(r)\dfrac{d\theta _ \alpha}{2\pi}\right)=0$, 再由$d\rho\wedge d\rho=0$知
\[\displaystyle d\left(\rho(r)\dfrac{d\theta _ \alpha}{2\pi}\right)\wedge\dfrac{1}{2\pi i}d\left(\rho(r)\pi^ * \sum _ \gamma\rho _ \gamma d\log g _ {\gamma\alpha}\right)=\dfrac{1}{4\pi^2i}\rho \dfrac{d\rho}{dr}dr\wedge d\theta _ \alpha\pi^ * \sum _ \gamma d\rho _ \gamma d\log g _ {\gamma\alpha}，\]所以$\Phi^2$应当是$\displaystyle \dfrac{1}{2\pi^2i}\rho \dfrac{d\rho}{dr}dr\wedge d\theta _ \alpha\pi^ * \sum _ \gamma d\rho _ \gamma d\log g _ {\gamma\alpha}$再加上一堆不含$dr\wedge d\theta _ \alpha$的项，回忆到$\pi _ * $实际上是沿纤维进行积分，所以那一大堆在$\pi _ * $的作用下全为0，于是
\[\pi _ * (\Phi^2)=\displaystyle \dfrac{1}{2\pi^2i}\sum _ \gamma d\rho _ \gamma d\log g _ {\gamma\alpha}\int _ 0^{+\infty}\rho \dfrac{d\rho}{dr}dr\int _ 0^{2\pi}d\theta _ \alpha=-\dfrac{1}{2\pi i}\sum _ \gamma d\rho _ \gamma d\log g _ {\gamma\alpha}=e(E).\]$\Box$