对纯几何吧4778的推广和证明

前阵子有网友问纯几何吧4778有没有什么简单的做法，原题如下：

原题：给定$\triangle ABC$及其内心$I$，外心$O$，$B,C$关于$I$的对称点分别是$B_0,C_0$，点$N$使得四边形$AC_0BN$为平行四边形，$\odot(AB_0C_0)\cap\odot(ABC)={A,K}$，求证：$O,N,K$共线.

看了一眼，感觉应该会有比较漂亮的推广，果不其然，推广如下：

推广：给定$\triangle ABC$及其重心$G$、外心$O$、垂心$H$，对平面上一点$P$，设$B,C$关于$P$的对称点分别为$B’,C’$，$\odot(AB’C’)\cap\odot(ABC)={A,X}$，$X$关于$BC$的对称点为$X’$，$Q$为$PG$延长线上一点，且$QG=2PG$，$R$为$Q$关于$\triangle ABC$的等角共轭点.证明:$OR//HX’$.

当$P$取内心时，$Q$就是Nagel点，简单的推导就可以看出$Q$和原题的$N$是同一个点，然后这时候$R$就是外接圆和内切圆的一个位似中心，所以$OR$正是$OI$，然后这也就是说$X$的Steiner线和$OI$平行，那他就只可能是Feuerbach点的反补点了，当然在外心和Nagel点连线上（也就是Feuerbach点在内心和九点圆心连线上）。所以下面只要证这个推广就好了，我看着就感觉搞几个对称应该就出来了，但是因为我当时正在从浴园往回走的路上就没细考虑，然后豪神很快就给了个很漂亮的做法：

Proof. 使用同一法，只需证若$X$满足其Steiner线平行于$OR$，则$X\in\odot(AB’C’)$.作过$ABCQ$的等轴双曲线$\Gamma$，则其中心$S$为$X$的补点，设$AC$中点为$M_B$，$B,C$关于$S$的对称点为$V,W$，于是由$S$是$X$的补点且$BS=SV$，故$G$是$\triangle BXV$的重心，于是$M_B$是$XV$的中点，同理可见$M_B$也是$QB’$的中点，于是$\measuredangle AB’X=\measuredangle CQV$，同理$\measuredangle AC’X=\measuredangle BQW$，由平行四边形$BCVW$中的巨龙曲线正是$\Gamma$即知$X\in\odot(AB’C’)$.$\quad\Box$