一个角度小题的来龙去脉

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前阵子河北衡水的刘通老师在微信上问了我一个题:

题目:给定$\triangle ABC$和其外心$O$,内心$I$,$I$在$BC$上的投影为$D$,$OI$与$\odot(BOC)$的第二交点为$E$,证明$OI$平分$\angle AED$.

这题的证明并不困难,不过要用到之前姚佳斌老师在2019.03.10发在我们爱几何上的一个小题,这里直接把当时萝卜神给的优美证明融入其中。

Proof. 设$A$关于$OI$的对称点为$A’$,$OI$交$BC$于$F$,$AF$与$\odot(ABC)$的第二交点为$X$,$I$关于$\triangle ABC$的圆Ceva三角形为$\triangle UVW$,$A’I$与$\odot(ABC)$的第二交点为$Y$,则$X(BC,DF)=U(WV,UY)=A(CB,AA’)=X(BC,A’A)$,故$A’,D,X$共线,于是其也过$F$关于$\odot(ABC)$的反演点,这正是$E$,于是由对称即得$OI$平分$\angle AED$.$\quad\Box$

不过一开始我并不是这么想的,我注意到了以下事实:该题正是要证明$E$在四边形$ABDC$的巨龙曲线上,但$ABDC$显然有内切圆,故退化为了斜环索线,于是再由,并注意到$ABDC$的Miquel点就是$\triangle ABC$的$A-$伪内切圆切点,Newton线为$BC$中点和内心连线,就得到下面这个小题:

改编:$\triangle ABC$中,$O$是外心,$I$是内心,$N$是弧$BAC$中点,$M$是$BC$中点,$D$是$IO$与$\odot(BOC)$的第二交点,$T$是$NI$与$\odot(ABC)$第二交点.证明:$\angle MIO=\angle IDT$.

但事实上再回忆$D$的反演点正是$OI$和$BC$的交点,我们就得到了简洁一点的版本:

改编(优化版):给定$\triangle ABC$及其外心$O$,内心$I$,$BC$中点$M$,弧$BAC$中点$N$,$NI$与$\odot(ABC)$的第二交点为$T$,$D$为$OI$与$BC$交点.证明:$\angle MID=\angle DTO$.

后来我把这个题发到了几个群和贴吧里,得到了很多老师和同学的不同解答,具体可以参见:纯几何吧4861,这里不再赘述。