一个数（几）分（何）小题

丕丕前阵子在《奥数研究新群》里问了一个问题：

问题：$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$是光滑映射且处处非奇异（即对任意$x\in\mathbb{R}^n$，$f$在$x$处的Jacobi矩阵$J_f(x)$满秩），又对$\mathbb{R}^n$中任意有界子集$U$，$f^{-1}(U)$也有界。求证：$f$是微分同胚（即$f$是双射且$f^{-1}$也是光滑映射）。

虽说丕丕认为这是个数分题，但这怎么看都应该是个几何题才对QAQ，看着这个条件和要证的东西，我先想到了去年微分流形课上留的GTM94上的一个习题：

引理1：对光滑流形$M,N$之间的光滑双射$f$，如果$f$处处非奇异，则$f$是微分同胚。

Proof. 由反函数定理，$f$是微分同胚等价于$f^{-1}$光滑等价于$f$的切映射$df$是满射，若$df$在某点不是满射，则$\dim M<\dim N$，记$\dim M=p$，$\dim N=d$，令$(U,\varphi)$是$N$上一个坐标卡，$\varphi(U)=\mathbb{R}^d$，则$\varphi\circ f$的值域就是$\mathbb{R}^d$，但由于$M$满足第二可数性，所以$\varphi\circ f(M)$可看作可数多个$\mathbb{R}^p$在到$\mathbb{R}^d$的光滑映射下的像的并，但$\mathbb{R}^p$在$\mathbb{R}^d$中零测且连续可微映射把零测集映到零测集，故$\varphi\circ f(M)$是$\mathbb{R}^d$中的零测集，这与它是$\mathbb{R}^d$本身矛盾！$\quad\Box$

注1：对原本的问题而言，我们已经有了$\dim M=\dim N$（其中$M,N$都是$\mathbb{R}^n$），所以显然$df$恒为满射了，也就不需要后面的论述。

有了这个引理，我们就只需要证明$f$是个双射。我们先来证$f$是满射，一个自然的想法是证明$f(\mathbb{R}^n)$既开又闭，那样利用$\mathbb{R}^n$的连通性就知道$f(\mathbb{R}^n)=\mathbb{R}^n$，也即$f$是满射。现在由反函数定理，我们已经有了$f$是局部微分同胚，也就是一个开映射，故$f(\mathbb{R}^n)$是开集。下面只需证明它也是个闭集，我们来证明$f$也是个闭映射，其实我们可以证明$f$是proper的，也即连续且紧集的原像也紧，这比较轻松，考虑到$\mathbb{R}^n$中紧集就是有界闭集，且在$f$下有界集原像有界，闭集原像闭，故$f$就proper了，接下来我回忆到之前看书时遇到的一个结果：

引理2：设$X,Y$是两拓扑空间，$Y$局部紧且Hausdorff，$f:X\to Y$是proper映射，则$f$是闭映射。

Proof. 设$C$是$X$中闭集，下证$f(C)$是$Y$中闭集，只需证$U:=Y\setminus f(C)$是$Y$中开集，任取$y\in U$，由$Y$局部紧，其在$Y$中有具有紧闭包的开邻域$V$，于是由$f$是proper的知$f^{-1}(\overline{V})$是$X$中紧集，故$W:=C\cap f^{-1}(\overline{V})$和其像$f(W)$均紧，由$Y$Hausdorff知$f(W)$是闭集，于是考虑$V_1=V\setminus f(W)$，显然$V_1$也是$y$的开邻域，又若存在$z\in V_1\cap f(C)$，则存在$x\in C$，$f(x)=z$，于是$x\in f^{-1}(V_1)\subset f^{-1}(\overline{V})$，故$x\in W$，$z\in f(W)$，矛盾！故$V_1\subset Y\setminus f(C)$，也即是说$Y\setminus f(C)$是开集。$\quad\Box$

注2：对任意光滑流形而言，它们都是局部紧且Hausdorff的，对原本问题更是如此，这就说明了原本的$f$是闭映射。

于是乎，我们说明了$f(\mathbb{R}^n)$既开又闭，利用$\mathbb{R}^n$的连通性即知$f$是满射，下面的单射似乎就有些困难了，但我又回忆起了上学期黎曼曲面引论课上看GTM81时遇到的一个定理：

引理3：设$X,Y$是两局部紧Hausdorff空间，满射$f:X\to Y$是proper的局部同胚，则$f$是覆叠映射。

Proof. 考虑$y\in Y$的原像$f^{-1}(y)$（$f$满说明其非空），由$f$是局部同胚知$f^{-1}(y)$离散，又$f$是proper的知$f^{-1}(y)$是紧的，故其有限，可设$f^{-1}(y)={x_1,\cdots,x_n}$，由$X$Hausdorff且$f$是局部同胚，对每个$i=1,\cdots,n$可设存在$x_i$的开邻域$V_i$，$V_i$两两不交且$f\mid_{V_i}$是同胚，对$f^{-1}(y)$的开邻域$V:=\bigcup\limits_{i=1}^nV_i$，$X\setminus V$是闭集，由引理2知$f$是闭映射，于是$A:=f(X\setminus V)$是闭集，且$y\notin A$，于是$U:=(\bigcap\limits_{i=1}^nf(V_i))\cap(Y\setminus A)$是$y$的开邻域，且$f^{-1}(U)\subset f^{-1}(Y\setminus A)\subset V$，下令$U_i=V_i\cap f^{-1}(U)$，则$U_i$是不交开集且$f^{-1}(U)=\bigcup\limits_{i=1}^nU_i$，并且所有$f\mid_{U_i}:U_i\to U$均为同胚，即$f$是覆叠映射。$\quad\Box$

下面的事情几乎不言自明了，对原问题中的$f$，我们已经证明了它是proper的局部同胚，并且$\mathbb{R}^n$是局部紧且Hausdorff的，由引理3就得到$f$是覆叠映射，但$\mathbb{R}^n$是单连通的，它的道路连通覆叠空间只可能是本身，故$f$是同胚映射，也即$f$是双射，这就完成了证明。

回顾一遍这个证明，我们事实上稍微往前走了一些，也即证明了下面这个结果：

推广：对维数相同的两光滑流形$M,N$，若$N$连通，$f:M\to N$是光滑且处处非奇异的proper映射，则$f$是覆叠映射；特别地，当$M$道路连通且$N$单连通时，$f$是微分同胚。

Proof. 首先$M,N$作为流形均为局部紧的Hausdorff空间，由反函数定理，$f$是局部微分同胚，为开映射，又由引理2，$f$也是闭映射，于是$f(M)$是$N$中既开又闭的子集，由$N$连通知$f$是满射，故由引理3知$f$是覆叠映射；当$M$道路连通且$N$单连通时，$f$是同胚，当然是双射，则由引理1知$f$是微分同胚。$\quad\Box$

当然对原本的问题而言，丕丕后来找到了一个$f$是单射的奇妙数分证法（不过看起来本质还是同伦），但在此还是不作介绍因为我懒所以不想看。