对2020 CMO P4的推广及证明
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今天2020CMO的比赛部分刚刚结束,只有P4是个平面几何,大概看了一眼,发现此题可以推广,于是便推广并证明了一下。
原题如下:
下面是我对本题的推广:
推广:给定$\triangle ABC$及其外心$O$、垂心$H$、外接圆$c$,$D$是$c$上弧$BC$上一点,$D’$是$D$关于$BC$的对称点,$A’$是$A$在$c$上的对径点,过$O$作$HD’$垂线分别交$AC$、$AB$于$E$、$F$,设$BD$交$CA’$于$P$,$CD$交$BA’$于$Q$.证明:$\angle OEB+\angle OPB=\angle OFC+\angle OQC$.
当$D$取弧$BC$中点时,此推广就转化为原本的题目,对于这个推广的证明也不算困难,不过是简单的相似与导角而已.
对推广的证明:设$H$关于$BC$的对称点为$H’$,则$\angle BFO=\angle AHD’-\angle ABC=180^\circ-\angle AH’D-\angle ABC=\angle ABD-\angle ABC=\angle PBC$,又由于$\angle FBO=90^\circ-\angle ACB=\angle PCB$,于是$\triangle OBF\stackrel{-}{\sim}\triangle PCB$,故$\dfrac{FB}{CB}=\dfrac{BO}{CP}=\dfrac{CO}{CP}$,又$\angle OCP=\angle ABC$,故$\triangle FBC\stackrel{-}{\sim}\triangle OCP$,即$\angle OPC=\angle FCB$,同理$\angle OQB=\angle EBC$,故$\angle OEB+\angle OPB=\angle OEB+\angle BPC-\angle OPC=\angle OEB+\angle BOE-\angle FCB=180^\circ-\angle EBO-\angle FCO-\angle BCO$,由$\angle OBC=\angle OCB$即看出$\angle OFC+\angle OQC$也为此值,证毕.$\quad\Box$