对2020 CMO P4的推广及证明

今天2020CMO的比赛部分刚刚结束，只有P4是个平面几何，大概看了一眼，发现此题可以推广，于是便推广并证明了一下。

原题如下：

下面是我对本题的推广：

推广：给定$\triangle ABC$及其外心$O$、垂心$H$、外接圆$c$，$D$是$c$上弧$BC$上一点，$D’$是$D$关于$BC$的对称点，$A’$是$A$在$c$上的对径点，过$O$作$HD’$垂线分别交$AC$、$AB$于$E$、$F$，设$BD$交$CA’$于$P$，$CD$交$BA’$于$Q$.证明：$\angle OEB+\angle OPB=\angle OFC+\angle OQC$.

当$D$取弧$BC$中点时，此推广就转化为原本的题目，对于这个推广的证明也不算困难，不过是简单的相似与导角而已.

对推广的证明：设$H$关于$BC$的对称点为$H’$，则$\angle BFO=\angle AHD’-\angle ABC=180^\circ-\angle AH’D-\angle ABC=\angle ABD-\angle ABC=\angle PBC$，又由于$\angle FBO=90^\circ-\angle ACB=\angle PCB$，于是$\triangle OBF\stackrel{-}{\sim}\triangle PCB$，故$\dfrac{FB}{CB}=\dfrac{BO}{CP}=\dfrac{CO}{CP}$，又$\angle OCP=\angle ABC$，故$\triangle FBC\stackrel{-}{\sim}\triangle OCP$，即$\angle OPC=\angle FCB$，同理$\angle OQB=\angle EBC$，故$\angle OEB+\angle OPB=\angle OEB+\angle BPC-\angle OPC=\angle OEB+\angle BOE-\angle FCB=180^\circ-\angle EBO-\angle FCO-\angle BCO$，由$\angle OBC=\angle OCB$即看出$\angle OFC+\angle OQC$也为此值，证毕.$\quad\Box$