巨龙曲线学习笔记

0.前言及预备知识

最近在我们的一个研究平面几何的小圈子里重新掀起了对叶中豪老师十余年前发现的“巨龙曲线”的探索热潮，正值djc也在写《等角共轭》专题，其中提到了一些有关巨龙曲线的性质和结论，我也顺应潮流，学习了一波这条曲线的诸多优美性质，在此做一个整理，以便于后人查阅。毫无疑问，这其中的不少结论在叶中豪老师和黄利兵老师以及诸多其他老师发在东方论坛上的帖子驯服巨龙、我对老封“巨龙”的解读、Urquhart定理中就早有提出，在国外的四边形特征对象收录网的“QL-Cu1”部分也有大量性质收录，不过因为时间跨度原因和语言原因，不少性质缺乏证明，这里仅就我所知的内容进行叙述和论证，也希望前辈们多多提出改进意见和进行批评指正。另外也感谢贴吧网友“39532346djc”和“forever豪3”的帮助和支持，这其中诸多的优美证明都是出自他们之手。

以下是一些预备知识与约定。

定义0.1：一个完全四边形谓指由四条位于一般位置的直线$l _ i(i=1,2,3,4)$（下标按$\mod 4$理解）组成的图形，记为$(l _ i) _ {i=1}^4$，这四条直线为其边；$A _ {ij}:=l _ i\cap l _ j$ $(i<j)$称为这个完全四边形的顶点；对于$i<j,$ $k<l,$ ${i,j,k,l}={1,2,3,4},$ $A _ {ij}A _ {kl}$称为其对角线，这两点称为其对顶点；任意三边$l _ i,l _ {i+1},l _ {i+2}$围成的三角形称为其组成三角形，记为$\triangle _ {i-1}$.

容易看出，任何一个完全四边形有六个顶点，三条对角线，四个组成三角形。

定理0.1：完全四边形的三条对角线的中点共线 $\mathcal{N}$.

定理0.2：完全四边形的四个组成三角形的垂心共线 $\mathcal{S}$，且 $\mathcal{N}\perp\mathcal{S}$.

这两个定理可以通过“组成三角形的垂心到以三对角线为直径的圆圆幂相等”这个简单的事实直接推出，其中$\mathcal{N}$称为完全四边形的Newton线，$\mathcal{S}$称为完全四边形的垂心线，这里前者用$\mathcal{N}$表示含义是很明显的，而后者用$\mathcal{S}$当然不是为了与$\mathcal{N}$成“南北”合击之势，也不是为了迎合著名数学竞赛机构“NSmath”的名称，我们马上会看到其含义所在。

定理0.3：完全四边形的四个组成三角形的外接圆共点$M$.

这就是大家熟知的Miquel定理，简单的导角即证，$M$称为完全四边形的Miquel点。

下面我们有众所周知的Steiner定理。

定理0.4：对任意三角形的外接圆上一点，其关于三边的对称点共线，且此线经过三角形的垂心，称为此点关于三角形的Steiner线.

由此定理立刻可以看出$\mathcal{S}$事实上就是$M$对任何一个组成三角形的Steiner线，这也解释了$\mathcal{S}$这个记号的由来。

下面我们考虑完全四边形的内切抛物线，首先我们有两个基本的事实：

定理0.5：一抛物线的焦点在其任意外切三角形的外接圆上.

定理0.6：一抛物线的任意外切三角形的垂心在其准线上.

它们的证明可以参见A.V.Akopyan和A.A.Zaslavsky写的《Geometry of Conics》，利用这两个事实立刻可以得出：

定理0.7：完全四边形的内切抛物线$\Gamma$的焦点为其Miquel点$M$，准线为其垂心线 $\mathcal{S}$.

以后无特殊说明时，“给定一个完全四边形$\mathcal{A}$”就意味着$M _ {\mathcal{A}},\mathcal{S} _ {\mathcal{A}},\mathcal{N} _ {\mathcal{A}},\Gamma _ {\mathcal{A}}$为其Miquel点、垂心线、Newton线、内切抛物线，不产生混淆时下标可以省略。另外我们总记无穷远线为$\mathcal{L} _ {\infty}$，两圆环点为$I _ \infty,J _ \infty$。

1.关于完全四边形的等角共轭

欲要谈论四边形的等角共轭，我们还是先对一个角的一对等角线入手，再推广到对$n$边形的等角共轭，而后再取$n=4$的特例。

定义1.1：对一个角$\angle BAC$，如果过$A$的直线$l _ 1,l _ 2$满足$\measuredangle (AB,l _ 1)=\measuredangle (l _ 2,AC)$，则称$l _ 1,l _ 2$是关于$\angle BAC$的一对等角线.

通过简单的导角和圆锥曲线的光学性质以及著名的“Poncelet小定理”容易得到：

定理1.1：给出$\angle BAC$和两点$P,Q$，设$P$关于$AB,AC$的对称点分别为$P _ 1,P _ 2$，则如下命题等价：

（1）$AP,AQ$是关于$\angle BAC$的等角线；（2）$AQ\bot P _ 1P _ 2$；（3）$P _ 1Q=P _ 2Q$；（4）存在以$P,Q$为焦点的圆锥曲线与$AB,AC$相切.

注1.1：不太清楚“Poncelet小定理”这个名字是怎么来的，可能是国内的叫法？在A.V.Akopyan和A.A.Zaslavsky写的《Geometry of Conics》中，其被称为“the isogonal property of conics”，感兴趣的读者可以自己去看.

定义1.2：对任意$n$边形和一对点$P,Q$，称$P,Q$关于这个$n$边形等角共轭，如果存在以$P,Q$为焦点的圆锥曲线内切于这个$n$边形.

在$n=3$的情况下，对于任意一点$P$，总存在一点$Q$与其等角共轭，但$n\geqslant 4$时情况并非如此，不过由定理1.1易知（细节留给读者补充，这是很好的导角练习题）对于完全四边形的等角共轭点有如下等价刻画：

定理1.2：给定完全四边形，对任意两点$P,Q$，如下命题等价：

（1）$P,Q$关于完全四边形等角共轭；（2）$P,Q$关于某两个$\triangle _ i$等角共轭；（3）$P,Q$关于所有$\triangle _ i$等角共轭；（4）$P,Q$在完全四边形某三个共线顶点处与顶点所连直线是顶点所在角的等角线；（5）$P$关于每条边的四个对称点共圆，圆心为$Q$；（6）$\measuredangle A _ {12}PA _ {13}=\measuredangle A _ {24}PA _ {34}$.

注1.2：可见（5）保证了等角共轭点的唯一性，就是说不存在两个不同的点$Q _ 1,Q _ 2$同时与$P$等角共轭.另外由定义即看出等角共轭确实是共轭的，即$P$的等角共轭如果存在，那$P$的等角共轭的等角共轭还是$P$.

注1.3：（6）与（5）直接等价，这是导角得到的结果，但考虑到（5）中有数对圆周角可用，所以这实际上可以推出著名的“完全四边形等角线”，即是说，$P$对一个完全四边形中某一组非退化四点形的某一对对边张相等的有向角，则它对完全四边形中每一组退化四点形的每一对对边张相等的有向角.

以后为方便起见，给定完全四边形$\mathcal{A}$后，若$P$关于$\mathcal{A}$的等角共轭点存在，就记其等角共轭点为$g _ {\mathcal{A}}P$，不引起混淆时可缩写为$gP$，后面我们将会看到，对“巨龙曲线”的研究就是对$g$的定义域（由$g^2=\mbox{id}$可以看出也是值域）的研究。

为了保证$g$的定义确实有意义，即定义域非空，当然由“与四条直线相切的圆锥曲线无数”这一点就可以保证，另外注意到但这里我们直接给出两对非平凡且极度重要的等角共轭点：

定理1.3：$gM=\mathcal{N}\cap\mathcal{L} _ {\infty}$.

Proof. 考虑$M$关于四边的对称点，由定理0.4知四点共线$\mathcal{S}$，故$gM$就是$\mathcal{S}$的“圆心”$\mathcal{N}\cap\mathcal{L} _ {\infty}$.$\quad\Box$

注1.4：这里将直线视为了圆心在$\mathcal{L} _ {\infty}$上的圆.

除此之外，我们还有三对平凡的等角共轭点，也就是完全四边形的三对对顶点，这是在三角形里没有的好事，这个定义的合理性事实上由定理1.2的（2）保证。对于任意一对对顶点，它们的中点确定了Newton线，事实上对任意一对等角共轭点也有类似的事情：

定理1.4：给定完全四边形和一对等角共轭点$P,Q$，$PQ$中点在$\mathcal{N}$上.

Proof. 注意到$gMA _ {12}\mapsto gMA _ {34}$，$gMA _ {13}\mapsto gMA _ {24}$，$gMA _ {14}\mapsto gMA _ {23}$恰同属由“关于$\mathcal{N}$对称”决定的对合变换，所以由Desargues对合定理即得由$gM$做以$P,Q$为焦点的完全四边形内切锥线的两条切线也属这一对合，而由$gM\in\mathcal{L} _ \infty$知这两条切线关于$PQ$中点对称，故结论成立.$\quad\Box$

2.等角共轭的显式表示及应用

上一节中，我们给出了完全四边形等角共轭的定义以及一些基础的性质，本节中我们将证明在一个足够好的坐标系下，等角共轭无非就是取倒数，并在此过程中为后文的内容做出充足的铺垫。

我们先从三角形的等角共轭点入手，给出一个精妙的结果。

定理2.1：给定$\triangle ABC$及关于它的一对等角共轭点$P,Q$，$M\in\odot(ABC)$，$D$满足$\triangle MPD\stackrel{+}{\sim}\triangle MAQ$，则$D\in BC$，设以$P,Q$为焦点的$\triangle ABC$的内切锥线为$\Omega$，则过$D$作$\Omega$的与$BC$不同的切线$l$，$M$是完全四边形$(AB,BC,CA,l)$的Miquel点.

Proof. 作$\triangle MKC\stackrel{+}{\sim}\triangle MPD\stackrel{+}{\sim} \triangle MAQ$，则$\triangle MAK\stackrel{+}{\sim}\triangle MQC$，于是

\(\measuredangle AKC=\measuredangle AKM+\measuredangle MKC=\measuredangle QCM+\measuredangle MAQ=\measuredangle CQA+\measuredangle AMC=\measuredangle CQA+\measuredangle ABC=\measuredangle APC.\) 故$A,K,P,C$ 共圆.于是乎我们有

这推出了$B,C,D$共线.另一方面，由Poncelet小定理，$l$和$BC$关于$\angle PDQ$是等角线，下面考虑$M$关于$\triangle ABC$的等角共轭点$M^ * $，有

故$DM,DM^ * $也是$BC,l$所成角的等角线，所以再由Poncelet小定理，即得$l$与以$M$为焦点的$\triangle ABC$内切抛物线相切，故$M$就是$(AB,BC,CA,l)$的Miquel点.$\quad\Box$

推论2.1：给定完全四边形及其一对等角共轭点$P,Q$，$\triangle MA _ {13}P\stackrel{+}{\sim}\triangle MA _ {24}Q$.

Proof. 将$P,Q$视为$\triangle _ 1$的等角共轭点，由定理2.1立得.$\quad\Box$

这说明存在一个以$M$为中心的反演反射变换将$P$和$gP$互变，这就给出了$g$的一个显式表示，也就是说存在以$M$为中心的一个复坐标系使得$gP=\dfrac{1}{P}$.

注2.1：这个结果的一个推论是：给定一个完全四边形，其任意三对等角共轭点组成一个“完美六边形”，并称为等角型的，更多相关内容可以参见《完美六边形研究综述》和在第0节提到过的几个帖子.

但要注意的是，不是所有点在这个坐标下取倒数之后就得到了其等角共轭点，还需要另外的一个限制条件。

定理2.2：给定完全四边形及两点$P,Q$，若$\triangle MA _ {13}P\stackrel{+}{\sim}\triangle MA _ {24}Q$且$PQ$中点在$\mathcal{N}$上，则$Q=gP$.

Proof.考虑以$PQ$中点为中心做与完全四边形四边均相切的锥线（中点在$\mathcal{N}$上保证了这样锥线的存在性），其焦点为$P’,Q’$.下面存在以$M$为原点的坐标系使得$P\cdot Q=P’\cdot Q’=1$，且$P+Q=P’+Q’$，但这等价于$(P\cdot P’-1)(P-P’)=0$ ，于是${P’,Q’}={P,Q}$.$\quad\Box$

下面我们可以推出一个很重要的结果。

推论2.2：给定完全四边形及其两对等角共轭点$P,Q$和$R,S$，$PR\cap QS$和$PS\cap QR$也是一对等角共轭点，且原本完全四边形的对顶点是关于$PR,QS,PS,QR$组成的完全四边形的等角共轭点，且这两个完全四边形的Newton线重合.

Proof. 结合注1.3，定理1.4，推论2.1，定理2.2立得.$\quad\Box$

下面的两个结果都是与三角形的两对等角共轭点相关的内容，由于两锥线第四公切线的存在性我们总有两对三角形的等角共轭点为它们确定的两内切锥线的四条切线组成的完全四边形的两对等角共轭点，所以推论2.1无疑是解决这种问题的“解牛尖刀”。

推论2.3：给定$\triangle ABC$和它的两对等角共轭点$P,P^ * $，$Q,Q^ * $，则$PQ$和$P^ * Q^ * $的顺相似中心是$PP^ * $和$QQ^ * $中点连线上无穷远点的等角共轭点.

Proof. 由上述分析和定理1.3以及定理1.4知后者正是完全四边形的Miquel点，由推论2.1即得结论成立.$\quad\Box$

推论2.4：给定$\triangle ABC$和它的两对等角共轭点$P,P^ * $，$Q,Q^ * $，则$PP^ * $中点和$QQ^ * $中点是等角共轭点等价于$PQP^ * Q^ * $共圆且是圆上的调和四边形.

Proof. 由推论2.1知存在坐标系使得$P^ * =\dfrac{1}{P},Q^ * =\dfrac{1}{Q}$，则由$(P+\dfrac{1}{P})(Q+\dfrac{1}{Q})=4 \Longleftrightarrow(P,\dfrac{1}{P};Q,\dfrac{1}{Q})=-1$和定理1.4以及定理2.2即得结论成立.$\quad\Box$

3.巨龙曲线的基本性质

本节中我们将定义完全四边形的巨龙曲线，并介绍其某点处切线的刻画、渐近线、常用画法以及作为代数曲线的次数等等性质。

定义3.1：对完全四边形$\mathcal{A}$，称$g _ {\mathcal{A}}$的定义域为其巨龙曲线，记为🐉$ _ \mathcal{A}$.

注3.1：在四边形特征对象收录网中，巨龙曲线被称为QL-Cu1，这暗示了它是个三次曲线，我们会在后文证明这一点，不过目前定理2.2保证了它确实是一条曲线.

定理3.1：给定完全四边形$\mathcal{A}$和两对等角共轭点$P,P^ * $，$Q,Q^ * $，则🐉$ _ \mathcal{A}=$🐉$ _ {(PQ,PQ^ * ,P^ * Q,P^ * Q^ * )}$.

Proof. 由推论2.1和定理2.2立得.

注3.2：这说明了只要给出了一个完全四边形的巨龙曲线后，就有无穷多个完全四边形的巨龙曲线也是它，这也说明了巨龙曲线上的由“等角共轭”进行的配对应当是唯一的，不过一个自然的问题是，给出一条已知是某完全四边形巨龙曲线的曲线，如何能做出被隐藏掉的完全四边形呢？换句话说，如何能确定其上的配对关系呢？我们将在下一节给出具体的构造方式.

考虑用🐉上一个点去逼近另一个点，我们就轻松得到了对其上切线的刻画。

定理3.2：给定完全四边形$\mathcal{A}$和任意一对等角共轭点$P,P^ * $，则🐉$ _ \mathcal{A}$在其上一点$Q$处的切线是$Qg _ {A}Q$关于$\angle PQP^ * $的等角线.​

下面我们将介绍巨龙曲线的常见画法，为此我们需要给出一个新的定义.

定义3.2：给定一个完全四边形$\mathcal{A}$，则$\mathcal{N} _ \mathcal{A}$上有一对等角共轭点，记为$X _ \mathcal{A},Y _ \mathcal{A}$.同样地，无混淆之虞时可省略下标.

注3.3：这样的等角共轭点当然可能是虚的，而且二者也是无法分辨的，值得一提的是，它们也可以不借助巨龙曲线描绘出来，定理2.2告诉我们，这就是$\mathcal{N}$在关于$M$的反演反射下的像与$\mathcal{N}$的两个交点.另外，它们是否是实的也蕴含着巨龙曲线是否在平面上断为两支，对于两点重合的临界情况，我们将在后文进行讨论.

定理3.3：给定完全四边形，则$P\in$🐉$\Longleftrightarrow MP$与$\odot(XYP)$相切.

Proof. $P\in$🐉$\Longleftrightarrow \measuredangle MPY=\measuredangle XPgM$，而$\measuredangle XPgM=\measuredangle PXY$，所以两者确实等价.$\quad\Box$

推论3.1：$\odot(XYM)$与🐉在$M$处相切.​

这样的话就很容易画出巨龙曲线了，即便在$XY$是虚点的情形下，事实上两种情形无非都是$\mathcal{N}$和其反演反射像所确定的共轴圆组。

下面我们就可以确定巨龙曲线的次数了，不过需要引进一些新的定义，大体的思路就是将其转化为一个容易计算的曲线，并证明这是三次的。

• 警告：初学者可直接略过这部分证明，只需记住巨龙曲线确实是三次的就足够了. *

定义3.2：给定$\triangle ABC$和一点$U$，$X,Y$被称为关于$\triangle ABC$的$U$不动等度共轭点当且仅当$A(BX,UC)=A(CY,UB)$并在另两侧有同样的等式.

定义3.3：给定$\triangle ABC$和一点$U$，满足$X$和其关于$\triangle ABC$的$U$不动等度共轭点连线过定点$V$的$X$的轨迹称为$V$关于$\triangle ABC$的主$U$不动等度共轭曲线.

容易看出两个事实，其一是等度共轭无非是经过一个射影变换后可变为等角共轭，其二是一个代数曲线经过射影变换后次数不变，所以简单的行列式计算表明主等度共轭曲线是三次曲线。

下面有一个作为桥梁的定理。

定理3.4：设$U$关于$\triangle ABC$的反Ceva三角形为$\triangle U^1U^2U^3$，$P$在$U$不动点的等度共轭下的像为$P^ * $，则$P$关于过$UU^1U^2U^3$四点的锥线的极线经过$P^ * $.

Proof. 由定义，$A(U^2U,PP^ * )=-1$，另外两侧也如此，所以四点形$UU^1U^2U^3$的三组对边都调和分割$PP^ * $，由Desargues对合定理即得结论成立.$\quad\Box$

于是我们可以得到如下定理。

定理3.5：对平面上五点$A,B,C,D,X$，过$X$做过$A,B,C,D$四点的二次曲线系的切线，切点轨迹是三次曲线.

Proof. 考虑四点形$ABCD$三组对边交点$UVW$，则由定理3.4知，切点与其关于$\triangle UVW$的$D$不变等度共轭点连线就是切线，也就过定点$X$，由主等度共轭曲线都是三次曲线即得结论成立.$\quad\Box$

推论3.2：巨龙曲线是三次曲线.

Proof. 取定理3.5中五点为$X,Y,I _ \infty,J _ \infty,M$，由定理3.3即得结论成立.$\quad\Box$

注3.4：对于经过两圆环点的三次曲线，统称其为“circular cubic”.

我们接下来要考虑$\mathcal{L} _ \infty$与🐉的交点，推论3.2告诉我们交点恰有三个，考虑到两圆环点对任意三角形都是等角共轭的，所以由定理1.2就知道：

定理3.6：$\mathcal{L} _ \infty\cap$🐉$={gM,I _ \infty,J _ \infty}$.​

另一方面，现在我们可以看到过$X,Y$两点的圆与🐉有除两圆环点和$X,Y$​之外的另两个交点，在后面我们会说明这两点间的关系，除此之外这会导致一个不太好的事，即用定理3.3画出的巨龙曲线通常是分为两段的。

我们知道渐近线不过是无穷远点处的切线，定理3.6说明实的渐近线就只有$gM$处的切线一条，回忆定理1.4，容易看出这条渐近线有如下刻画：

定理3.7：🐉的渐近线​过$M$关于$\mathcal{N}$的对称点，且与$\mathcal{N}$平行.

下面注意到$gM$是实点，而且渐近线在$gM$处相当于交了两次，所以$gM$与🐉必还有一个实交点，而渐近线当然不可能是无穷远线，所以有：

定理3.8：🐉的渐近线必与🐉有一个有限的实交点​.

以后给定完全四边形$\mathcal{A}$之后，这个实交点就记为$T _ {\mathcal{A}}$，同样地，不产生混淆时可省略下标.

定理3.9：$gT$在$XY$的中垂线上.

Proof. 推论2.2告诉我们$M,gT,gM$共线，由推论3.1知$MgT$与$\odot(XYgT)$相切，故$gT$和$\odot(XYgT)$圆心连线垂直于$\mathcal{N}$，这说明$gT$在$XY$中垂线上.$\quad\Box$

4.巨龙曲线上的加法群

本节中我们将定义巨龙曲线上的加法群，以给出前文中几个问题的解答。

类似于椭圆曲线上的加法，我们给出巨龙曲线上加法的定义。

定义4.1：给定完全四边形，对任意$P,Q\in$🐉，定义$P+Q$为$gM$与$PQ$和🐉的第三交点连线的第三交点.

显然有$P+Q=Q+P$，下面我们要验证这确实定义了🐉一个群结构，不过还是需要一个很有用的三次曲线上的结果，也就是Cayley-Bacharach定理。

定理4.1：若两条三次曲线交于九点且第三条三次曲线经过其中八点，则它也经过第九点.

我们这里需要一个特例情形：

推论4.1：设一条三次曲线上有共线三点$A _ 1,B _ 1,C _ 1$，过它们分别做直线与三次曲线交于另外六点$A _ 2,A _ 3,B _ 2,B _ 3,C _ 2,C _ 3$，则这六点共圆锥曲线.

这无非是取其中两个三次曲线为新作的三条直线和原本的直线并上新产生的圆锥曲线，细节留给读者。

定理4.2：$+$定义了🐉上的加法群结构.​

Proof. 先验证结合律，任取其上三点$P,Q,R$，由推论4.1知$P+Q$与$R$连线和🐉第三交点恰过$P,Q,R,gM,T$五点的锥线与🐉的第六交点，轮换即得结合律成立.​而由定义知幺元正是$gM$，并且连线过$T$的两点互为逆元.$\quad\Box$

注4.1：可以看出，上述论证事实上对任意的三次曲线和任意的“幺元”都成立.但对巨龙曲线而言，“第三交点”有更容易的做法，即是做$PQ\cap gPgQ$，这是推论2.1保证的.

下面我们可以直接通过加法来刻画等角共轭了。

定理4.3：$M+=g$.

Proof. 设$P\in$🐉，$MP$和🐉的第三交点为$Q$，则推论2.1说明$M,gP,gQ$也共线，于是由推论2.2知$gP$就是$QgM$与🐉的第三交点.$\quad\Box$

推论4.2：$2M=0$，换言之，🐉在$M$处的切线过$T$.

推论4.3：若$P+Q=gT$，则$PQ$中点在$\mathcal{N}$上.

Proof. 这无非是说$P,Q,M$共线，此时由$Q,gM,gP$共线和定理1.4即得结论成立.$\quad\Box$

推论4.4：$2X=2Y=gT$，换言之，$MX,MY$均与🐉相切​.

Proof. 注意到$g(gT-X)=Y=gX$即得.$\quad\Box$

这样我们就可以解决之前提出的“巨龙曲线上点的配对方式是否唯一”的问题了。

定理4.4：给出一条巨龙曲线🐉，其上存在唯一的配对方式$g$，使得对其上任意两点$P,Q$，有🐉$=$🐉$ _ {(PQ,PgQ,gPQ,gPgQ)}$.

Proof. 首先巨龙曲线有唯一的实渐近线，所以$T$是唯一确定的，而🐉是三次曲线，只存在三条过$T$的切线，一条当然是渐近线，还有一条就是在$T$处的切线，故由推论4.2最后一条的切点就是唯一的Miquel点$M$，则由定理4.3得$g$只能是$M+$.$\quad\Box$

这样的话，我们所说的$\mathcal{N},M,g,T,X,Y$对于巨龙曲线而言就是彻底不依赖于完全四边形的选取了，所以我们只要说“给出一条巨龙曲线”，这些对象就可以被自然定义。下面的定理揭示了定理3.3作图法中两个可能的切点的关系.

定理4.5：给出一条巨龙曲线和其上任意点$P$，则$X,Y,P,-P$共圆.

Proof. 在推论4.1中取最开始的直线为渐近线，三交点分别为$T,gM,gM$，于是对$\overline{TP-P},\overline{gMXY},\overline{gMI _ \infty J _ \infty}$即得$X,Y,P,-P$共圆.$\quad\Box$

另外一个结果刻画了与这组共轴圆共轭的共轴圆组。

定理4.6：若$P+Q=gT$，则以$PQ$为直径的圆共轴，极限点为$X,Y$.

Proof. 取恒过$X,Y$两点的共轴圆组的两极限点$X’,Y’$（它们与$X,Y$正好虚实相反），一方面，它们均在和$XY$互相垂直平分，于是由定理3.9知$gT,X’,Y’$共线，另一方面，定理3.3​说明$X’,Y’\in$🐉，并且由于注意到$P+Q=gT$等价于$P,Q,M$共线，由推论4.1即知$P,Q,X’,Y’$共圆，考虑到推论4.3告诉我们$PQ$的中点在$X’Y’$中垂线上，于是$P,Q,X’,Y’$所共圆就是以$PQ$为直径的圆，特别地，推论4.4也说明了极限点就是$X,Y$.$\quad\Box$

最后值得一提的或许是我们可以构建巨龙曲线上加法群的一个商群，即是把$P$和$gP$等同起来，这时$P+gQ=P+M+Q=g(P+Q)$保证了这种定义是合理的。

5.临界情形——斜环索线

在注3.3中，我们粗略了考虑巨龙曲线什么时候会断为两支，本节要讲的就是一个临界情形，也就是$X=Y$，巨龙曲线有自交点的情形。

定理5.1：给定完全四边形，以下三个命题等价：（1）$X=Y$；（2）$g$有不动点；（3）完全四边形存在内切圆.

Proof. 显然（1）能推出（2），（2）和（3）等价，而当（3）成立时，定理1.4保证了内切圆圆心就在$\mathcal{N}$上，这就推出了（1）.$\quad\Box$

注5.1：可以看出前两条都不依赖于完全四边形的选取，而最后一条则不然，这可以推出一些奇妙的结果.

下面对圆外切完全四边形，记其内切圆圆心为$I$，我们来证明此时巨龙曲线确实退化为斜环索线。

定理5.2：给定圆外切四边形，对任意$P\in$🐉，设$MP\cap\mathcal{N}=Q$，则$IQ=PQ$.

Proof. 考虑过$P$且与$\mathcal{N}$切于$I$的圆，由定理3.3知$MP$也与此圆相切，故$IQ=PQ$.$\quad\Box$

下面给出斜环索线的另外几个常用刻画。

定理5.3：给定圆外切四边形，则$P\in$🐉$\Longleftrightarrow\measuredangle A _ {12}PI=\measuredangle IPA _ {34}$.

Proof. 由推论2.2和定理1.2的（6）立得.$\quad\Box$

转化视角到$\triangle A _ {12}IA _ {34}$中，简单导角立刻得到：

推论5.1：以$B,C$为定点且过$A$的Apollonius圆关于$\triangle ABC$的等角共轭像（换句话说，对$AB$和$CA$张角相等的点的轨迹）为斜环索线.

定理5.4：给定$\triangle ABC$，则满足$\measuredangle PBA=\measuredangle ACP$的点的轨迹是等轴双曲线.

Proof. 注意到$P$的轨迹恰为$BC$中垂线的等角共轭像立得.$\quad\Box$

这样回忆反演的逆相似性质，我们就有：

推论5.2：斜环索线关于其自交点的反演像是等轴双曲线.

另外一个刻画在处理所谓“等Ceva线问题时”作用极大。

定理5.5：给定$\triangle ABC$，$P$是平面上一点，$BP\cap AC=E,CP\cap AB=F$，则满足$BE=CF$的$P$的轨迹是斜环索线.

Proof. 这不过是虚张声势的初中平几.考虑平行四边形$ABDC$，$D$在$BE,CF$上的投影分别为$U,V$.由$S _ {\triangle BED}=S _ {\triangle ABC}=S _ {\triangle CFD}$和$BE=CF$即得$DU=DV$,故由推论5.1即得结论成立.$\quad\Box$

再次回忆Poncelet小定理，我们可以得到$BE=CF$等价于存在一个以$P$为焦点的椭圆与$DB$切于$B$，与$DC$切于$C$，于是轮换立刻得到：

推论5.3：若$P$是$\triangle ABC$的Steiner外接椭圆的一个焦点，其Ceva三角形为$\triangle DEF$，则$AD=BE=CF$.

注5.2：更多关于等Ceva线的结果可以参见1981等西瓦点.

6.节外生枝：$XY$中点的刻画

对于不在Newton线上的一对等角共轭点，其中点可以通过其连线与Newton线的交点做出，但对于$XY$而言，这个做法就失效了，本节将介绍一个这个中点的另一种有效刻画。

首先是一个关于三角形等角共轭的命题，稍后我们会将其变为完全四边形的。

定理6.1：给定$\triangle ABC$和其中点三角形$\triangle LMN$，$P,Q$是$\triangle ABC$的一对等角共轭点，以二者为焦点的$\triangle ABC$的内切锥线为$c$，$PQ$和$MN,NL,LM$分别交于$D,E,F$，$BE\cap CF=U$，则$U$在$D$关于$c$的极线上.

Proof. 设$AD\cap BC=D’$并轮换地定义$E’,F’$，显然有$D’,E’,F’$共线，并由推论1.4知$D’E’F’$与$c$相切，于是由Brocard定理即得$U$的极线是$AD$，故结论成立.$\quad\Box$

定理6.2：给定完全四边形，则$XY$中点在三条对角线与$\mathcal{N}$组成的完全四边形的垂心线上.

Proof. 考虑组成三角形$\triangle _ 1$，并取定理6.1中的$P,Q$为$X,Y$，则$l _ 1$正是其中的$D’E’F’$，$D,E,F$就是三对角线中点，$U$就是其中两对角线的交点，所以由定理6.1知$XY$中点对$\odot(DU)$的圆幂正是$c$的半长轴长度平方，轮换得到$XY$中点对以三条对角线与$\mathcal{N}$组成的完全四边形的任意一条对角线为直径的圆圆幂相等，故由定理0.2即得结论成立.$\quad\Box$

7. 距离乘积版本的巨龙曲线

本节将阐释并证明一个断言，这个结果将诱导我们从另一个角度刻画巨龙曲线。

我们先回忆定理2.2和定理4.4，它们事实上说明了复平面$\mathbb{C}$上巨龙曲线的判别法则。

定理7.1：考虑复平面上的点$z$，满足$\dfrac{z+\frac{1}{z}}{2}$在定直线上的$z$的轨迹是某个完全四边形的巨龙曲线，且原点和定直线恰为其Miquel点和Newton线.

据此可以推出巨龙曲线的距离乘积版本，也就是将证明的断言：

定理7.2：给定两点对$(A _ 1,A _ 2),(B _ 1,B _ 2)$，则满足$XA _ 1\cdot XA _ 2=XB _ 1\cdot XB _ 2$的$X$的轨迹为某个完全四边形$\mathcal{A}$的巨龙曲线，且$M _ \mathcal{A}=M _ {(A _ 1B _ 1,A _ 1B _ 2,A _ 2B _ 1,A _ 2B _ 2)}$，$\mathcal{N} _ \mathcal{A}\perp\mathcal{N} _ {(A _ 1B _ 1,A _ 1B _ 2,A _ 2B _ 1,A _ 2B _ 2)}$.

Proof. 以$M _ {(A _ 1B _ 1,A _ 1B _ 2,A _ 2B _ 1,A _ 2B _ 2)}$为原点，我们可以建立复坐标系使得$A _ 1\cdot A _ 2=B _ 1\cdot B _ 2=1$，于是$X$满足方程$\lvert X-A _ 1\rvert\cdot\lvert X-A _ 2\rvert=\lvert X-B _ 1\rvert\cdot\lvert X-B _ 2\rvert$.下面取$A _ 1A _ 2,B _ 1B _ 2$中点$A _ m,B _ m$，方程转化为$\lvert X^2-2A _ mX+1\rvert=\lvert X^2-2B _ mX+1\rvert$.$X\neq 0$时左右同除$2X$，并取$X _ m=\dfrac{X+\frac{1}{X}}{2}$，方程就转化为了$\lvert X _ m-A _ m\rvert=\lvert X _ m-B _ m\rvert$，其几何含义正为$X _ m$在$\mathcal{N} _ {(A _ 1B _ 1,A _ 1B _ 2,A _ 2B _ 1,A _ 2B _ 2)}=A _ mB _ m$中垂线上，于是由定理7.1即得结论成立.$\quad\Box$

下面我们记对给定两点对$(A _ 1,A _ 2),(B _ 1,B _ 2)$的距离乘积版本的巨龙曲线为🐉$ _ {(A _ 1,A _ 2)(B _ 1,B _ 2)}$，其Miquel点，Newton线记号一致.

值得注意的是，这时的巨龙曲线上会多出两个新的地位不平凡的点，它们就是$A _ 1B _ 1$和$A _ 2B _ 2$的中垂线交点以及$A _ 1B _ 2$和$A _ 2B _ 1$的中垂线交点，分别记它们为$M^+$和$M^-$.

定理7.3：$M^+ _ {(A _ 1,A _ 2)(B _ 1,B _ 2)}M^- _ {(A _ 1,A _ 2)(B _ 1,B _ 2)}\perp\mathcal{N} _ {(A _ 1B _ 1,A _ 1B _ 2,A _ 2B _ 1,A _ 2B _ 2)}$.

Proof. 设$A _ 1A _ 2,B _ 1B _ 2$中点为$A _ m,B _ m$，我们有

同理可得$M^-$一侧的式子，于是由等差幂线定理知结论成立.$\quad\Box$

推论7.1：$M^+ _ {(A _ 1,A _ 2)(B _ 1,B _ 2)}M^- _ {(A _ 1,A _ 2)(B _ 1,B _ 2)}//\mathcal{N} _ {(A _ 1,A _ 2)(B _ 1,B _ 2)}$.

这事实上告诉我们：

推论7.2：$M^++M^-=T$.(这里的$+$是巨龙曲线上的加法.)

下面我们再来考虑和为$M^+$或$M^-$的两点间的关系，这个考虑的动机其实是“给定两点对，如何做出其距离乘积版本的巨龙曲线？”，我们当然可以通过定理7.2，定理3.3（或定理4.6）愣构造出来，但我们总要考虑一些更简洁的做法，一个自然的想法就是构造满足$\dfrac{XA _ 1}{XB _ 1}=\dfrac{XB _ 2}{XA _ 2}$的点，而这利用Apollonius圆就很容易构造出来，但问题其实在于对一个固定的比值，上式中两比均等于此值的点一般有两个，下面的定理就描述了这两点之间的关系：

定理7.4：给定两点对$(A _ 1,A _ 2),(B _ 1,B _ 2)$，若$P,Q$满足$\dfrac{PA _ 1}{PB _ 1}=\dfrac{PB _ 2}{PA _ 2}=\dfrac{QA _ 1}{QB _ 1}=\dfrac{QB _ 2}{QA _ 2}$，则$P,Q,M^-$共线.进一步地，通过推论7.1有在🐉上，$P+Q=M^+$.

Proof. 设上述四比为均等于$t$，并设出以$A _ 1,B _ 1$为定点且过$P,Q$的Apollonius圆为$c _ 1(t)$，圆心$O _ 1(t)$，类似地设出$c _ 2(t),O _ 2(t)$，我们来计算$M^-$到$c _ 1(t)$的圆幂，$\textbf{Power}(M^-,c _ 1(t))=M^-O _ 1(t)^2-O _ 1(t)A _ 1\cdot O _ 1(t)B _ 1$，对$\triangle M^-A _ 1B _ 1$和$O _ 1(t)$用Stewart定理可得$\textbf{Power}(M^-,c _ 1(t))=\dfrac{\overline{M^-B _ 1}^2\cdot \overline{A _ 1O _ 1(t)}-\overline{M^-A _ 1}^2\cdot \overline{B _ 1O _ 1(t)}}{\overline{A _ 1O _ 1(t)}-\overline{B _ 1O _ 1(t)}}$，而由$M^-$的定义就可以看出$M^-$在$c _ 1(t)$和$c _ 2(t)$的根轴上，这也就是说$P,Q,M^-$共线.$\quad\Box$

8.习题

本节是习题部分，希望读者可以自行证明，习题不会给出解答，因为都比较基础，如有问题，可以通过我的邮箱：llddeddym@outlook.com进行询问。

习题8.1：验证定理1.1和定理1.2.

习题8.2：作出推论2.4的准确图形.

习题8.3：证明定直线对过四定点的圆锥曲线族的极点的轨迹仍是圆锥曲线.

习题8.4：给定巨龙曲线🐉，记$XY$中点为$O$，对其上一点$P$，记$H _ P$为$\triangle POgT$的垂心，证明：$H _ P$和$H _ {gP}$关于$\mathcal{N}$对称.

习题8.5：记组成三角形$\triangle _ i$的外心为$O _ i$，（1）证明：$M,O _ 1,O _ 2,O _ 3,O _ 4$共圆，称作完全四边形的外心圆$\mathcal{O}$；（2）证明：推论2.1中提到的“倒数变换”将$\mathcal{O}$与垂心线$\mathcal{S}$互变；（3）证明$\mathcal{O}$与🐉在$M$处正交，即$\mathcal{O}$的外心在$MT$上.

习题8.6：给定任意两点$U，V$和一条巨龙曲线🐉，证明$P\in$🐉运动时，满足$\triangle QUP\stackrel{+}{\sim}\triangle QgPV$的点$Q$的轨迹是圆（或直线）.

习题8.7：叙述定理5.2在一般巨龙曲线中的版本.（提示：考虑定理4.6）

习题8.8：运用顺相似共轭的语言证明定理7.2.

习题8.9：给定三角形$\triangle ABC$，其中$AC\perp BC$，记满足$PA\cdot PB=PC^2$的$P$的轨迹为$\Gamma$，证明$\Gamma$为斜环索线当且仅当三角形有一顶角为$15^\circ$，并找出一个三角形使得$\Gamma$恰为这个三角形某一Apollonius圆的等角共轭像.