qzc的一个小清新(纯几何吧4409)

纯几何吧4409是如下问题：

问题：$F,H,S$分别是$\triangle ABC$的第一等角中心、垂心、第一等力点，$\triangle F_aF_bF_c$是$F$关于$\triangle ABC$的垂足三角形，$K$是$\triangle F_aF_bF_c$的Kosnita点，$X$是$F$关于$K$的对称点.证明：$S,X,H$共线.

首先解释一些名词并介绍一些基本性质：所谓“第一等角中心”，是以一个三角形的三边为边分别向外做等边三角形，出现的三个新顶点组成的三角形与原三角形的透视中心，其存在性不过是初中几何，而且容易看出其对三边所张顶角相等，这也是其“等角中心”名称的由来，同理，将“向外做”改为“向内做”后我们可以得到类似的“第二等角中心”，需要注意的一点是当三角形三顶角均小于$\dfrac{2\pi}{3}$时第一等角中心正是Fermat点；“第一等力点”与“第二等力点”则恰是“第一等角中心”和“第二等角中心”的等角共轭点，简单导角就可以得到二者的垂足三角形均为等边三角形，另一方面，简单的计算表明一点的垂足三角形为等边三角形当且仅当其到三顶点的距离的倒数比恰为三边长度之比，Apollonius圆表明这样的点恰有两个，也就是两个等力点；Kosnita点就是九点圆心的等角共轭点。在后面的证明中，我们会看到把原题中的“第一”均改为“第二”也是毫无问题的。

这个题刚发出来时我忙于期末考试等等事情，没有细看，而后贴吧网友“黑熊不黑$\blacklozenge$”发了一个复数法的解答，不过我个人对那个做法不甚满意，因为其在仅求出了几个点的复数坐标并写下了三点共线的复数版本后写了一句“验证即可”。后来考完了期末就去做了一下这题，其实几何方法也不困难，本想当时就整理一下然后在公众号里发出来，结果突然接到了丘赛26号考的消息，于是便再次搁置到了现在，下面说一下我对这题的做法。

考虑到$\triangle F_aF_bF_c$与$\triangle ABC$有两正交中心$F$和$S$，所以我们可以先回忆一个引理。

引理1：给定两正交但非位似三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$，设两正交中心分别为$X_1,Y_1$ ($AX_1\bot EF,DY_1\bot BC$),并设$X,Y$满足$AX//DY$,$BX//EY$,$CX//FY$,则$X,Y$的轨迹分别是两三角形过两正交中心的外接等轴双曲线且$X_1X//Y_1Y$.

证明参见一个重要引理及其应用的引理2.

对$\triangle F_aF_bF_c$与$\triangle ABC$用一下这个引理，我们就得到$HS$和过$F_aF_bF_cF$的等轴双曲线在$F$处的切线$l$平行，于是下面只需证明$l//SX$，但$X$这个点明显不太好处理，所以我们考虑中位线，设出$FS$中点，证明其与$K$连线平行于$l$.

现在应该很明显地可以看出问题基本已经完全转化到$\triangle F_aF_bF_c$中了，$FS$中点恰为其外心，$K$为其Kosnita点，所以下面的问题应当就是看看$F$在这个三角形中的地位，考虑$F$关于$\triangle F_aF_bF_c$的垂足三角形，简单导角可得这正是一个等边三角形，所以$F$恰为$\triangle F_aF_bF_c$的一个等力点（具体是哪个不重要，这也是为什么这个证明对于“第二”版本也正确）.于是现在问题转化为了：

问题‘：给定$\triangle ABC$及其一等力点$S$，证明过$ABCS$的等轴双曲线在$S$处的切线与外心$O$和Kosnita点$Ks$的连线平行.

对于$OKs$的方向，我们有一个很好的刻画：

引理2：给定一三角形，其外心和Kosnita点的连线平行于其垂三角形的Euler线.

证明参见一个重要引理及其应用的例2.

既有等轴双曲线的切线，又有垂三角形，这不禁让我们想起了另一个引理：

引理3：给定$\triangle ABC$和一点$X$，则$X$的Ceva三角形的任意一对等角共轭点关于过$ABCX$的等轴双曲线共轭.

证明参见一个重要引理及其应用的引理5.

于是现在问题又被转化为了：

问题’‘：证明三角形的等力点在其垂三角形的Neuberg曲线（与等角共轭点连线平行于Euler线的点的轨迹）上.

说到垂三角形的Neuberg曲线，我们又自然地想到了另一个结果：

引理4：垂三角形的Neuberg曲线关于原三角形的等角共轭像是Kosnita点的orthopivotal cubic.

其中的定义和证明参见谈谈正对应极点和纯几何吧609.

于是乎我们现在只需证明两等角中心均在Kosnita点的orthopivotal cubic上，但事实上容易看出两等角中心的正交截线也恰是它们各自的三线性极线（这是简单的调和，证明留给读者），所以我们有更强的结果，即任意点的orthopivotal cubic均过两等角中心，这就完成了证明。