纯几何吧4678

纯几何吧4678是如下问题：

问题：给定$\triangle ABC$，九点圆心$X_5$的等角共轭点$X_{54}$，陪位重心$X_6$，垂三角形的垂三角形与原三角形的透视中心$X_{24}$，证明：$X_6,X_{24},X_{54}$共线.

先来回顾一些基本的记号与事实，证明可以参见

记重心$X_2$，外心$X_3$，垂心$X_4$，九点圆心$X_5$，垂心关于外心的对称点$X_{20}$，$X_{20}$的等角共轭点$X_{64}$，$X_{24}$的等角共轭点$X_{68}$，Euler线与外接圆距垂心较近的为$X_{1113}$，较远的为$X_{1114}$.并记$l(X)=\dfrac{\overline{XX_{1113}}}{\overline{XX_{1114}}}$（$l$在Euler线上取实数），等角共轭变换用$g$表示.

性质1：$X_{24}$在Euler线上，$l(X_{24})=-l(X_4)^2$.

性质2：$UV\cap gUgV=g(gUV\cap UgV)$.

证明的关键在于下面的引理：

引理1：对Euler线上两点$U,V$，$gUgV$平行于Euler线等价于$l(U)\cdot l(V)=-l(H)$.

Proof. 由同一法知只需证必要性.注意到 $U\mapsto V$是Euler线上的对合，所以$gU\mapsto gV$是Jerabek双曲线上的对合，而$X_3\mapsto X_4$和$X_{1113}\mapsto X_{1114}$是两个特例，故Jerabek双曲线对此对合的对合中心就是Euler线上的无穷远点，这就证明了结论.$\quad\Box$

推论1：$X_{64}X_{68}$平行于Euler线.

Proof. 注意到$l(X_{20})\cdot l(X_{24})=-l(X_4)$立得结论成立.$\quad\Box$

推论2：$X_{68},X_{5},X_{6}$共线，.

Proof. 由引理1，$X_{68}(X_{3}X_4,X_{64}X_5)=-1=(X_4X_3,X_{20}X_2)=A(X_4X_3,X_{20}X_2)=A(X_3X_4,X_{64}X_6)=X_{68}(X_4X_3,X_{64}X_6)$.这就证明了结论.$\quad\Box$

推论3：$X_6,X_{24},X_{54}$共线，且$X_{2},X_{54},X_{68}$共线.

Proof. 注意到$g(X_2X_5\cap X_{6}X_{54})\in X_5X_6$，且其在Jerabek双曲线上，并且非$X_6$，于是正好是$X_{68}$，故$X_6,X_{24},X_{54}$共线，$X_{2},X_{54},X_{68}$共线.$\quad\Box$

现在我们已经证明了原问题，不过这个结果让我想起了之前证的一个东西，这让我们得以再往前走几步。先补充一些定义：记三角形的Gergonne点为$X_7$，Mittenpunkt（旁心三角形的陪位重心）为$X_{9}$，垂三角形的垂心为$X_{52}$，切线三角形的垂心为$X_{155}$.$U,V$的cross point为$\mbox{crossmul}(U,V)$（cross point的定义可以参见https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html）.由定义，我们立刻得到：

性质3：$\mbox{crossmul}(X_4,X_{24})=X_{52}$.

再来证一个有趣的引理：

引理2：对Euler线上一点$P$，$gP\in X_4\mbox{crossmul}(X_4,P)$.

Proof. 只需证明$X_4gP$与过$ABCX_4P$的双曲线切于$X_4$，而$X_4(BC,PgP)=X_4(BC,X_3gP)=A(BC,X_3gP)=A(CB,X_4P)=X_4(BC,PX_4)$.于是结论成立.$\quad\Box$

推论4：$X_4,X_{52},X_{68}$共线.

Proof. 取引理2中$P$为$X_{24}$即得.

推论5：$X_3X_{155}//X_{4}X_{68}$.

Proof. 考虑切线三角形与垂三角形的位似，有$X_{3}X_{155}//X_{4}X_{52}$，再由推论4即证.$\quad\Box$

注：熟悉Ceva point的读者可以立刻看出前者是Jerabek双曲线的切线，不熟悉的可以参看

再结合下面的性质：

性质4：$X_9$是$X_7$的补点.

这是熟知的位似结果，证明留给读者（Hint: 考虑旁切圆与内切圆的位似）.

性质5：$X_5,X_6,X_{155}$共线.

Proof. 注意到$X_6X_{155}$是切线三角形的Gergonne点与垂心连线，取补知平行于切线三角形的Mittenpunkt与外心连线，而这正是切线三角形的旁心三角形的陪位重心与九点圆心连线，由切线三角形的旁心三角形与原三角形位似即证.$\quad\Box$

这就推出了一个不太平凡的结果：

推论6：$X_5$是$X_{68}X_{155}$的中点.

Proof. 由推论2和性质5即知$X_5,X_6,X_{68},X_{155}$共线，由推论5知$X_{3}X_{155}X_{4}X_{68}$是平行四边形，于是结论成立.$\quad\Box$