2020年全国高中数学联赛A卷二试P1推广及证明
Published:
今天是2020全国高中数学联赛举办之日，其二试P1是一个简单的平面几何问题，本文给出其推广及证明。（其实感觉二试头三个题都还是比较简单的…）
原题：如图，在等腰$\triangle ABC$中，$AB=BC$，$I$为内心，$M$为$BI$的中点，$P$为边$AC$上一点，满足$AP=3PC$，$PI$延长线上一点$H$满足$MH\perp PH$，$Q$为$\triangle ABC$的外接圆上劣弧$AB$的中点，证明：$BH\perp QH$.
.png)
这个题的证明是容易的，由相似对应显然有$\triangle BMH\stackrel{-}{\sim}\triangle IPC$，导角就得到$B,M,H,Q$共圆，由鸡爪定理就证明了结论。（思路就是一眼看出共圆然后反着推出相似，熟悉这一套的同学估计一分钟就能秒掉，我看了两分钟之后才发现落了等腰的条件…我太菜了呜呜呜呜呜呜呜呜）
更加详细的证明可以参见金磊老师的公众号《金磊讲几何构型》今天的推送：用鸡爪定理解2020年高中数学联赛几何题，顺便也可以关注一波金磊老师的新书《鸡爪定理》哦~qwq.
下面给出纯几何吧吧主“qianxiangzhen3”的推广，并给出其证明。
推广：$\triangle ABC$内心$I$为，$AI\cap BC=D$，$BI$与$\odot(ABC)$第二交点为$Q$，$P$是线段$BC$上一点，满足$\dfrac{BP}{PF}=\dfrac{IB}{IC}\sin\angle IDB$，$M$为$AI$中点，$H$是$M$在$PI$上的投影，证明：$AH\perp QH$.
.png)
Proof. 设$PI\cap MQ=N$. 由鸡爪定理显然$QM\perp AI$，于是$\triangle MHN\stackrel{+}{\sim}\triangle IHM$，而
\[\begin{aligned}&\dfrac{MN}{NQ}\\=&\dfrac{MN}{\sin\angle MIN}\cdot\dfrac{\sin\angle NIQ}{NQ}\cdot\dfrac{\sin\angle MIN}{\sin\angle NIQ}\\=&\dfrac{MI}{QI}\cdot\dfrac{\sin\angle MIN}{\sin\angle NIQ}\\=&\cos\angle BID\cdot\dfrac{\sin\angle PID}{PD}\cdot\dfrac{BP}{\sin\angle BIP}\cdot\dfrac{PD}{BP}\\=&\dfrac{\cos\angle BID}{\sin\angle IDB}\cdot\dfrac{IB}{ID}\cdot\dfrac{IC}{IB}\\=&\dfrac{\cos\angle BID}{\sin\angle ICB}\\=&1.\end{aligned}\]于是由相似对应知$\triangle AHI\stackrel{+}{\sim}\triangle QHM$. 故$\angle AHQ=\angle MHI=90^\circ$. $\quad\Box$