2020年全国高中数学联赛A卷二试P1推广及证明
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今天是2020全国高中数学联赛举办之日,其二试P1是一个简单的平面几何问题,本文给出其推广及证明。(其实感觉二试头三个题都还是比较简单的…)
原题:如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$I$为内心,$M$为$BI$的中点,$P$为边$AC$上一点,满足$AP=3PC$,$PI$延长线上一点$H$满足$MH\perp PH$,$Q$为$\triangle ABC$的外接圆上劣弧$AB$的中点,证明:$BH\perp QH$.
这个题的证明是容易的,由相似对应显然有$\triangle BMH\stackrel{-}{\sim}\triangle IPC$,导角就得到$B,M,H,Q$共圆,由鸡爪定理就证明了结论。(思路就是一眼看出共圆然后反着推出相似,熟悉这一套的同学估计一分钟就能秒掉,我看了两分钟之后才发现落了等腰的条件…我太菜了呜呜呜呜呜呜呜呜)
更加详细的证明可以参见金磊老师的公众号《金磊讲几何构型》今天的推送:用鸡爪定理解2020年高中数学联赛几何题,顺便也可以关注一波金磊老师的新书《鸡爪定理》哦~qwq.
下面给出纯几何吧吧主“qianxiangzhen3”的推广,并给出其证明。
推广:$\triangle ABC$内心$I$为,$AI\cap BC=D$,$BI$与$\odot(ABC)$第二交点为$Q$,$P$是线段$BC$上一点,满足$\dfrac{BP}{PF}=\dfrac{IB}{IC}\sin\angle IDB$,$M$为$AI$中点,$H$是$M$在$PI$上的投影,证明:$AH\perp QH$.
Proof. 设$PI\cap MQ=N$. 由鸡爪定理显然$QM\perp AI$,于是$\triangle MHN\stackrel{+}{\sim}\triangle IHM$,而
\[\begin{aligned}&\dfrac{MN}{NQ}\\=&\dfrac{MN}{\sin\angle MIN}\cdot\dfrac{\sin\angle NIQ}{NQ}\cdot\dfrac{\sin\angle MIN}{\sin\angle NIQ}\\=&\dfrac{MI}{QI}\cdot\dfrac{\sin\angle MIN}{\sin\angle NIQ}\\=&\cos\angle BID\cdot\dfrac{\sin\angle PID}{PD}\cdot\dfrac{BP}{\sin\angle BIP}\cdot\dfrac{PD}{BP}\\=&\dfrac{\cos\angle BID}{\sin\angle IDB}\cdot\dfrac{IB}{ID}\cdot\dfrac{IC}{IB}\\=&\dfrac{\cos\angle BID}{\sin\angle ICB}\\=&1.\end{aligned}\]于是由相似对应知$\triangle AHI\stackrel{+}{\sim}\triangle QHM$. 故$\angle AHQ=\angle MHI=90^\circ$. $\quad\Box$