三个有关Ceva圆和九点圆交点的问题
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最近做了几个Ceva圆和九点圆相关的题目,在这里整理一下发出来。要处理Ceva圆和九点圆的交点,一套重要的工具就是Poncelet点和Fontene定理。先不加证明地给出一些定义和定理。
定义1:对任何一个四点形,任一点到其余三点组成三角形的垂足圆、任意三点组成三角形的九点圆、三组对边交点组成三角形的外接圆九圆共点,这点称为这个四点形的Poncelet点.
在本文中,我们一般固定其中三点为原三角形的三个顶点,这就定义了平面上的一个变换,我们记给定$\triangle ABC$后,$\mathcal{P}(X)$为$ABCX$的Poncelet点,此时三组对边交点组成三角形的外接圆就是$X$的Ceva圆.
下面我们记$P$的等角共轭为$gP$,等截共轭为$tP$,反补点为$aP$(补点当然是$a^{-1}P$).
定理1(Fontene):给定$\triangle ABC$,设其外心为$X_3$,$X,gX $是一对等角共轭点,则$\mathcal{P}(X)$为$X_3gX $的垂极点(也是关于中点三角形的逆Steiner点).
由此得到的一个推论是:
推论1:给定$\triangle ABC$和任意两点$X,Y$,$\mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(Y)$等价于$X,Y$共外接等轴双曲线. ** 下面引入另一个重要概念,也即Cyclocevian conjugate,这里译作圆Ceva共轭.
定义2:给定$\triangle ABC$和任意两点$X,Y$,若它们有公共的Ceva圆,则称$X$和$Y$是圆Ceva共轭的,记作$Y=X^\circ$.
通过简单的圆幂即得对任意点$X$,$X^\circ$总是存在的.
一个奇妙的事情是$\cdot^\circ$是可以直接通过$a,t,g$复合得到的.
定理2:$X^\circ=taga^{-1}tX$.
这个定理直接依赖于https://zhuanlan.zhihu.com/p/107871684中的结果(不过当时我证繁了,事实上用里面的引理一就够了).证明留给读者补全. ** 下面第一个问题就可以直接秒掉了.
问题1:给定$\triangle ABC$,证明$P$的Ceva圆和九点圆相切等价于$a^{-1}tP$在陪位重心$X_6$的主等角共轭三次曲线上.
问题1的证明:$P$的Ceva圆和九点圆相切等价于$\mathcal{P}(P)=\mathcal{P}(P^\circ)$,也就等价于$P$和$P^\circ$共外接等轴双曲线,也就等价于$tPtP^\circ$过$X_{69}$,这等价于$a^{-1}tP$和$a^{-1}tP^\circ=ga^{-1}tP$连线过$X_6$,也即$a^{-1}tP$在$X_6$的主等角共轭三次曲线上.$\quad\Box$
这大概可以看出满足这个条件的$P$的轨迹是个六次曲线. ** 下面的问题是这个相切的另一个充要条件.下面为叙述方便,记$P$的Ceva三角形的垂心是$H_P$,重心为$G_P$.
问题2:给定$\triangle ABC$,证明$P$的Ceva圆和九点圆相切等价于$H_PH_{P^\circ}$过$\triangle ABC$的外心$X_3$.
这个问题好像是“MEtHod$\Omega$”在某个论文上找到的,原本是用的直接坐标剥蒜的方法,不过后来他给出了一个几何方法.这里只是把怹的证明整理一下(并修改一些Typo),但其中推出的一个结论将是我解决问题3的关键之一.
引理1:给定$\triangle ABC$和中点三角形$\triangle DEF$,则对任意一点$P$,和其Ceva三角形$\triangle P_1P_2P_3$,$\triangle DEF$和$\triangle P_1P_2P_3$中任意四条边组成的完全四边形有公共的Miquel点,且其恰为$X_3H_{P}$关于$\triangle DEF$的逆Steiner点.
引理1的证明:设$P_2P_2\cap BC=U$,$P_2P_3\cap EF=S$,$P_1P_3\cap AC=V$,$P_1P_3\cap EF=T$.则 \(\begin{aligned} &\dfrac{SP_3\cdot SP_2}{SP_3\cdot SU}=\dfrac{SP_2}{SU}\\=&\dfrac{EP_2}{EC}=\dfrac{EC}{EV}=\dfrac{TP_3\cdot TP_1}{TP_3\cdot TV} \end{aligned}.\) 这说明$\odot(P_1P_2P_3)$,$\odot(UVP_3)$,$\odot(P_3ST)$共轴.故由轮换对称性得公共的Miquel点就是$P$的三线性极线$UV$与$\triangle P_1P_2P_3$围成完全四边形的Miquel点.下面由Steiner定理知Miquel点关于四边的对称点所共直线恰为垂心线,也即$X_3H_P$.
注意到所共点显然不可能是$\mathcal{P}(P)$(可以取$P$为内心看出$gP,X_3,H_p$不共线),所以有如下推论.
推论2:$X_3,gP^\circ,H_P$共线,也即$X_3H_P$的垂极点为$\mathcal{P}(P^\circ)$.
下面问题2就是显然的了.
问题2的证明:$P$的Ceva圆与九点圆相切等价于$\mathcal{P}(P)=\mathcal{P}(P^\circ)$,等价于$X_3,H_P,H_{P^\circ}$共线. ** 下面这个问题来自于https://tieba.baidu.com/p/6093904848,在贴吧里一直没有解答,今天正好碰了上面两个题,就也试着做了一下,没想到还真做出来了…
问题3:给定$\triangle ABC$和一点$P\neq X_4$,证明$P$的垂足圆、$P$的Ceva圆和九点圆共轴等价于$P$在其Ceva三角形$\triangle P_1P_2P_3$的Kiepert双曲线上.
我们需要几个引理.
引理2:设$D,E$关于$BC$中点对称,则$\triangle ADE$和$\triangle ABC$有公共的重心.
这个引理是平凡的,但其可以直接推出一个不平凡的推论:
推论3:给定$\triangle ABC$和其截线$DEF$,则$AD,BE,CF$中点共线,且所共线平行于$DEF$的等截共轭线(也是三线性极点的等截共轭像的三线性极线).
引理3:给定$\triangle ABC$,$X_4$和$P$的反Ceva三角形的外心连线垂直于$tP$的三线性极线.
引理3的证明:由引理2,设$P$的三线性极线为$DEF$,反Ceva三角形为$\triangle P^1P^2P^3$,其外心为$O_P$.则显然$X_{4}$到$\odot(AD),\odot(BE),\odot(CF)$的圆幂相等,又由$A,D$关于$\odot(P^1P^2P^3)$共轭,故$O_P$到上述三圆的圆幂均为$\odot(P^1P^2P^3)$半径的平方,故$X_4O_P$垂直于这三圆圆心连线,由推论3即得结论成立.
下面这个定理来自于T神在新星网上写的文章.(进行了射影推广,这里不再叙述证明)
定理3(TelvCohl):给定$\triangle ABC$和一定点$M$.设$\tau$为$tP$的三线性极线,若$\measuredangle(\tau,MP)$为给定的角度$\theta$,则$P$的轨迹为一条过$M$和重心$X_2$的圆锥曲线$\Gamma_{(M,\theta)}$.
验证顶点即可得:
引理4:$\Gamma_{(X_4,\frac{\pi}{2})}$为Kiepert双曲线.
其和引理3结合得到:
推论4:给定$\triangle ABC$,则$PX_4$经过$P$的反Ceva三角形的外心当且仅当$P$在Kiepert双曲线上.
下面回到原问题.
问题3的证明:由推论4,$P$在$\triangle P_2P_2P_3$的Kiepert双曲线上等价于$P,H_P,X_3$共线,由推论2,等价于$gP^\circ,P,X_3$共线,等价于$P^\circ,gP$共外接等轴双曲线,等价于$\mathcal{P}(P^\circ)=\mathcal{P}(gP)$.而问题中三圆显然也共点$\mathcal{P}(P)$,故三圆共轴等价于$P$在其Ceva三角形的Kiepert双曲线上.