三个有关Ceva圆和九点圆交点的问题

最近做了几个Ceva圆和九点圆相关的题目，在这里整理一下发出来。要处理Ceva圆和九点圆的交点，一套重要的工具就是Poncelet点和Fontene定理。先不加证明地给出一些定义和定理。

定义1：对任何一个四点形,任一点到其余三点组成三角形的垂足圆、任意三点组成三角形的九点圆、三组对边交点组成三角形的外接圆九圆共点，这点称为这个四点形的Poncelet点.

在本文中，我们一般固定其中三点为原三角形的三个顶点，这就定义了平面上的一个变换，我们记给定$\triangle ABC$后，$\mathcal{P}(X)$为$ABCX$的Poncelet点，此时三组对边交点组成三角形的外接圆就是$X$的Ceva圆.

下面我们记$P$的等角共轭为$gP$，等截共轭为$tP$，反补点为$aP$(补点当然是$a^{-1}P$).

定理1（Fontene）：给定$\triangle ABC$，设其外心为$X_3$，$X,gX $是一对等角共轭点，则$\mathcal{P}(X)$为$X_3gX $的垂极点（也是关于中点三角形的逆Steiner点）.

由此得到的一个推论是：

推论1：给定$\triangle ABC$和任意两点$X,Y$,$\mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(Y)$等价于$X,Y$共外接等轴双曲线. ** 下面引入另一个重要概念，也即Cyclocevian conjugate，这里译作圆Ceva共轭.

定义2：给定$\triangle ABC$和任意两点$X,Y$，若它们有公共的Ceva圆，则称$X$和$Y$是圆Ceva共轭的，记作$Y=X^\circ$.

通过简单的圆幂即得对任意点$X$，$X^\circ$总是存在的.

一个奇妙的事情是$\cdot^\circ$是可以直接通过$a,t,g$复合得到的.

定理2：$X^\circ=taga^{-1}tX$.

这个定理直接依赖于https://zhuanlan.zhihu.com/p/107871684中的结果（不过当时我证繁了，事实上用里面的引理一就够了）.证明留给读者补全. ** 下面第一个问题就可以直接秒掉了.

问题1：给定$\triangle ABC$，证明$P$的Ceva圆和九点圆相切等价于$a^{-1}tP$在陪位重心$X_6$的主等角共轭三次曲线上.

问题1的证明：$P$的Ceva圆和九点圆相切等价于$\mathcal{P}(P)=\mathcal{P}(P^\circ)$，也就等价于$P$和$P^\circ$共外接等轴双曲线，也就等价于$tPtP^\circ$过$X_{69}$，这等价于$a^{-1}tP$和$a^{-1}tP^\circ=ga^{-1}tP$连线过$X_6$，也即$a^{-1}tP$在$X_6$的主等角共轭三次曲线上.$\quad\Box$

这大概可以看出满足这个条件的$P$的轨迹是个六次曲线. ** 下面的问题是这个相切的另一个充要条件.下面为叙述方便，记$P$的Ceva三角形的垂心是$H_P$，重心为$G_P$.

问题2：给定$\triangle ABC$，证明$P$的Ceva圆和九点圆相切等价于$H_PH_{P^\circ}$过$\triangle ABC$的外心$X_3$.

这个问题好像是“MEtHod$\Omega$”在某个论文上找到的，原本是用的直接坐标剥蒜的方法，不过后来他给出了一个几何方法.这里只是把怹的证明整理一下(并修改一些Typo)，但其中推出的一个结论将是我解决问题3的关键之一.

引理1：给定$\triangle ABC$和中点三角形$\triangle DEF$，则对任意一点$P$，和其Ceva三角形$\triangle P_1P_2P_3$，$\triangle DEF$和$\triangle P_1P_2P_3$中任意四条边组成的完全四边形有公共的Miquel点，且其恰为$X_3H_{P}$关于$\triangle DEF$的逆Steiner点.

引理1的证明：设$P_2P_2\cap BC=U$，$P_2P_3\cap EF=S$，$P_1P_3\cap AC=V$，$P_1P_3\cap EF=T$.则 \(\begin{aligned} &\dfrac{SP_3\cdot SP_2}{SP_3\cdot SU}=\dfrac{SP_2}{SU}\\=&\dfrac{EP_2}{EC}=\dfrac{EC}{EV}=\dfrac{TP_3\cdot TP_1}{TP_3\cdot TV} \end{aligned}.\) 这说明$\odot(P_1P_2P_3)$，$\odot(UVP_3)$，$\odot(P_3ST)$共轴.故由轮换对称性得公共的Miquel点就是$P$的三线性极线$UV$与$\triangle P_1P_2P_3$围成完全四边形的Miquel点.下面由Steiner定理知Miquel点关于四边的对称点所共直线恰为垂心线，也即$X_3H_P$.

注意到所共点显然不可能是$\mathcal{P}(P)$(可以取$P$为内心看出$gP,X_3,H_p$不共线)，所以有如下推论.

推论2：$X_3,gP^\circ,H_P$共线，也即$X_3H_P$的垂极点为$\mathcal{P}(P^\circ)$.

下面问题2就是显然的了.

问题2的证明:$P$的Ceva圆与九点圆相切等价于$\mathcal{P}(P)=\mathcal{P}(P^\circ)$，等价于$X_3,H_P,H_{P^\circ}$共线. ** 下面这个问题来自于https://tieba.baidu.com/p/6093904848，在贴吧里一直没有解答，今天正好碰了上面两个题，就也试着做了一下，没想到还真做出来了…

问题3：给定$\triangle ABC$和一点$P\neq X_4$,证明$P$的垂足圆、$P$的Ceva圆和九点圆共轴等价于$P$在其Ceva三角形$\triangle P_1P_2P_3$的Kiepert双曲线上.

我们需要几个引理.

引理2：设$D,E$关于$BC$中点对称，则$\triangle ADE$和$\triangle ABC$有公共的重心.

这个引理是平凡的，但其可以直接推出一个不平凡的推论：

推论3：给定$\triangle ABC$和其截线$DEF$，则$AD,BE,CF$中点共线，且所共线平行于$DEF$的等截共轭线（也是三线性极点的等截共轭像的三线性极线）.

引理3：给定$\triangle ABC$，$X_4$和$P$的反Ceva三角形的外心连线垂直于$tP$的三线性极线.

引理3的证明：由引理2，设$P$的三线性极线为$DEF$，反Ceva三角形为$\triangle P^1P^2P^3$，其外心为$O_P$.则显然$X_{4}$到$\odot(AD),\odot(BE),\odot(CF)$的圆幂相等，又由$A,D$关于$\odot(P^1P^2P^3)$共轭，故$O_P$到上述三圆的圆幂均为$\odot(P^1P^2P^3)$半径的平方，故$X_4O_P$垂直于这三圆圆心连线，由推论3即得结论成立.

下面这个定理来自于T神在新星网上写的文章.（进行了射影推广，这里不再叙述证明）

定理3(TelvCohl)：给定$\triangle ABC$和一定点$M$.设$\tau$为$tP$的三线性极线，若$\measuredangle(\tau,MP)$为给定的角度$\theta$，则$P$的轨迹为一条过$M$和重心$X_2$的圆锥曲线$\Gamma_{(M,\theta)}$.

验证顶点即可得：

引理4：$\Gamma_{(X_4,\frac{\pi}{2})}$为Kiepert双曲线.

其和引理3结合得到：

推论4：给定$\triangle ABC$，则$PX_4$经过$P$的反Ceva三角形的外心当且仅当$P$在Kiepert双曲线上.

下面回到原问题.

问题3的证明：由推论4，$P$在$\triangle P_2P_2P_3$的Kiepert双曲线上等价于$P,H_P,X_3$共线，由推论2，等价于$gP^\circ,P,X_3$共线，等价于$P^\circ,gP$共外接等轴双曲线，等价于$\mathcal{P}(P^\circ)=\mathcal{P}(gP)$.而问题中三圆显然也共点$\mathcal{P}(P)$，故三圆共轴等价于$P$在其Ceva三角形的Kiepert双曲线上.