一个重要引理及其应用

本文的目的是通过几个例子介绍一个三角形几何学中的重要引理。

引理看起来是很平凡的.

引理1：给定两非位似三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$，则存在$Y$使得$AX//DY$,$BX//EY$,$CX//FY$的非无穷远点$X$的轨迹是$\triangle ABC$的一条外接圆锥曲线.

引理1的证明：这时相当于作$\triangle D’E’C$与$\triangle DEF$位似，则有$BE’$与$AD’$交点即为$X$.所以问题转化为求$AD’$与$BE’$ 交点的轨迹，我们取三组这样的$D’E’$，并证明它们对应的$X$在同一条$\triangle ABC$的外接锥线上，不妨设这三组为$D’E’X’,D’‘E’‘X’‘,D’'’E’'’X’’’$.而由 \(\begin{aligned} &A(CX',X''X''')=(CD',D''D''')\\=&(CE',E''E''')=B(CX',X''X''') \end{aligned}\) 推出$A,B,C,X’,X’‘,X’’‘$共锥线.$\quad\Box$

这个引理可以直接推出一个看上去很厉害的引理（这个引理来自于“forever豪3”）.

引理2：给定两正交但非位似三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$，设两正交中心分别为$X_1,Y_1(AX_1\bot EF,DY_1\bot BC)$,并设$X,Y$满足$AX//DY$,$BX//EY$,$CX//FY$,则$X_1X//Y_1Y$.

引理2的证明：由引理1，$X,Y$的轨迹分别是过$ABCX_1$的等轴双曲线和过$DEFY_1$的等轴双曲线(等轴双曲线的唯一性由“非位似”保证).又注意到对于正交中心为$A,D$的两三角形$\triangle X_1BC$和$\triangle Y_1EF$，满足引理1的轨迹也为两等轴双曲线，又$BX//EY$，$CX//FY$,所以$X_1X//Y_1Y$.$\quad\Box$

这里举两个例子以证明引理2的威力.

例1：给定$\triangle ABC$及其内心$I$,设内心的Ceva三角形$\triangle DEF$的垂心为$H’$.证明：$IH’$与$\triangle ABC$的Euler线平行.

例1的证明：设出旁心三角形$\triangle I_1I_2I_3$，则由$DI\bot I_2I_3$知$\triangle DEF$和$\triangle I_1I_2I_3$正交，其中一个正交中心为$I$.下面回忆如下事实：$\odot(II_2I_3)$和$\odot(ABC)$的根轴为$EF$，这直接推出外心$O$为另一正交中心.于是由引理2，$IH’$与过$I_1I_2I_3O$的等轴双曲线（就是Stammler双曲线！）在$O$处的切线平行，也即$IH’$与$\triangle ABC$的Euler线平行.$\quad\Box$

例2：给定$\triangle ABC$及其外心$O$、九点圆心的等角共轭点(Kosnita点)$Ko$.证明：$\triangle ABC$的垂三角形$\triangle DEF$的Euler线平行于$OKo$.

例2的证明：设出九点圆心$Ni$及其垂足三角形$\triangle UVW$，则$\triangle ABC$与$\triangle UVW$的两正交中心分别是$Ni$和$Ko$.下面取$\triangle DEF$的九点圆心$N’$和垂心$H’$，我们证明$UN’//AO$.取$BC$中点$M$，显然有$U$是$DM$中点，又对于$\triangle ABC$垂心$H$有$AH=2OM$，故$MNi//AO//DH’$，结合$N’$是$NiH’$中点立得$UN’//AO$.于是由引理2，$OKo//NiN’$，而后者正是$\triangle DEF$的Euler线.

引理1的另外一个应用是基于如下两个引理.

引理3：给定$\triangle ABC$，则$P$的补点和$P$以及$P$的等截共轭点$P^* $共外接圆锥曲线.

引理3的证明直接使用重心坐标简单计算即可，在此不做叙述.

下一个引理来自于“古城天胤”.

引理4：给定$\triangle ABC$以及$P$的Ceva三角形$\triangle P_1P_2P_3$，则$A$、$P_2P_3$的中点、$P$的等截共轭点的补点共线.

引理4的证明：设$P$的等截共轭点为$P^* $，$P_2P_3$中点为$X$，作平行四边形$ABA’C$，则只需证明$AX//A’P^* $，倍长$AX$至$X$，$P_2X’\cap A’B=M,P_3X’\cap A’C=N$,则由Pappus定理立得$CM,BN,AX$共点,结合对称性即得结论成立.$\quad\Box$

把这两个引理和引理1缝合一下，即得： 推论1：对于$\triangle ABC$和$P$的Ceva三角形$\triangle P_1P_2P_3$,满足引理1条件的$X$的轨迹是$PP^* $的等截共轭像.

这可以应用到另外一个例子上.

例3：给定$\triangle ABC$以及$P$，设其等截共轭点为$P^* $,$U$为$PP^* $上一点，则$P$的Ceva三角形与$U$的等截共轭点的等角共轭点的垂足三角形正交.

例3的证明：利用推论1可以注意到原命题成立等价于$U$的等截共轭点在$PP^* $的等截共轭像上，而这是显然的.$\quad\Box$

据此可以看出例2中$\triangle UVW$和$\triangle DEF$正交的另一个证明，但无法刻画出正交中心.

下面一个例子来自于AoPS网友“buratinogigle”，证明来自于“qzc”，不过其中有一些关键步骤缺失（可能dalao觉得比较显然吧），在整理过程中也正好补上了。

例4：给定$\triangle ABC$以及Lucas曲线上一点$P$($P$的Ceva三角形$\triangle A’B’C’$为某点的垂足三角形)，$P$关于$\triangle A’B’C’$的Ceva三角形为$\triangle A’‘B’‘C’’$,$P’‘$为$P$关于$\triangle A’‘B’‘C’‘$的等角共轭点.证明$PP’‘$恒过$\triangle ABC$的重心$G$.

例4的证明：考虑对于$\triangle A’B’C’$和$\triangle ABC$满足引理1条件的$X$的轨迹，结合可以看引理4出它是经过$P$以及$P$关于$\triangle A’B’C’$的反补点$Q$的$\triangle A’B’C’$的外接锥线.另一方面，$P$在Lucas曲线上说明$\triangle A’B’C’$与$\triangle ABC$正交，于是这条外接锥线还是等轴双曲线，不妨记为$\mathcal{H}$.而对于$P’’$，我们有另一个奇妙的引理（来自于“forever豪3”，证明来自于我本人）进行处理.

引理5：给定$\triangle ABC$和一点$X$,则$X$的Ceva三角形中的的任意一对等角共轭点关于过$ABCX$的等轴双曲线共轭（一点的极线过另一点）.

引理5的证明：站在$X$的Ceva三角形的角度来看，由于双Ceva锥线的存在性，故$X$的Ceva三角形的四等心也在其上，由等角共轭显然可以看出其连线调和分割四等心组成的完全四边形的任意一组对边，故由Desargues对合定理，其也调和分割等轴双曲线，于是结论成立.$\quad\Box$

这说明$PP’‘$恰为$\mathcal{H}$的切线，所以接下来的目标就是证明$PG$也是切线.（“qzc”聚聚原本的证明相当隐晦，仅说了一句“注意到$P$关于$\triangle ABC$的反补点$Q’$与$P$关于$\triangle A’B’C’$的Ceva point是$Q$，所以结论成立”，然而我检验发现这句话可能是Typo，其中的“反补点”应为“补点”，而且这个东西我以前也没有见过，也不会证，所以前去求助著名3神“39532346djc”，结果用了我去年9月27号发现的一个结论才补全了证明）

引理6：给定$\triangle ABC$和一点$P$及其等截共轭点$P^* $，则$PP^* $与$\triangle ABC$和$P$的Ceva三角形重心连线平行.

引理6显然仿射不变，所以直接建系爆算即可.

引理7：给定$\triangle ABC$，重心$G$和一点$P$及其等截共轭点$P^* $，$P_g$为$P$的补点，记$\mbox{crossmul}(P,P_g)=Q$，设$QP_g\cap PP^* =T$,则$QP_g=P_gT$.

引理7的证明：设$P^* $的补点为$P^* _ g$,$PP^* _ g\cap P^* P_g=L$,则结合引理3知$QL,P_gP^* _ g,PP^* $共$QG$关于$PP^* $等截共轭像的极点，而后两者显然平行，于是$QL$也与它们平行，由Ceva定理显然有$P_g$是$LP^* $的中点，故结论成立.$\quad\Box$

这二者结合推出了下面的引理.

引理8：给定$\triangle ABC$，$P$和$P$关于其反Ceva三角形的补点的Ceva point是$P$的反补点.

引理8的证明：设$P$关于其反Ceva三角形的补点为$P_g$，$P$的反Ceva三角形的重心为$M$.注意到$P$和$P_g$的Ceva point恰为二者关于$P$的反Ceva三角形的cross point，设$P$关于其反Ceva三角形的等截共轭点为$P’$，其关于$P$反Ceva三角形的补点为$P’_ g$,注意到引理4告诉我们$P$和$P’_ g$关于$P$的反Ceva三角形的croos point是$\triangle ABC$的重心$G$，故$PG$与$PP’$关于$P$的反Ceva三角形的等截共轭像相切，于是综合引理6和引理7，问题转化为如下命题“$\triangle ABC$中，$D$是$BC$中点，$E$是$AB$距$A$较近的三等分点，$F$是$AD$距$A$较远的三等分点，则$EF//AC$.”而这是平凡的.$\quad\Box$

下面回到原题，引理8说明$P$关于$\triangle ABC$的补点$Q’$与$P$关于$\triangle A’B’C’$的Ceva point是$Q$，于是$PQ’$在关于$\triangle A’B’C’$的$\mbox{cevamul}(P,\cdot)$下的像就是$\mathcal{H}$，故$PQ’$与之相切，也即$P,P’‘,G$共线.$\quad\Box$