2020伊朗TST第二轮P3

今天早上看到杨丕业老师的公众号更新了2020伊朗TST的翻译，正好武神也在某群里问了一嘴关于第二轮考试的第三题的做法，于是一时手痒便试着做了做这题，题目很长，叙述很复杂，图形有点丑陋，结论也比较难下手，不过好在里面有一个我熟悉的构型，所以最后还是弄出来了。先看一下原题：

（翻译来源：第五十二篇. 2020伊朗TST (全两套)）

来配个图 ($M$是$BC$中点).

下面我们来一点一点地看，首先是传统艺能，也就是把$T$的对径点$D$设出来，于是就有$A,K,I,D$和$T,M,D$的共线. 且$DI^2=DB^2=DM\cdot DT$推出$\measuredangle ITM=\measuredangle DIM$.

接下来的问题是怎么处理$X$，这里就用到一个我比较熟悉的手法了，回忆$X_{22}$（切线三角形和重心的圆Ceva三角形的透视中心），我想到了把陪位中线做出来，也就是做出$X$关于$TM$的对称点$DX’$交$BC$于$U$，可以通过$\dfrac{UB}{UC}=\dfrac{X’B}{X’C}\cdot\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{XC}{XB}=\dfrac{AB}{AC}$得到$AT,EF,BC,X’D $共点$U$.

一个相对自然的想法是看看$J$关于$AI$的对称点落在哪，因为它在$AX$上，它的对称点肯定在$AX’$和$EF$的交点啊！那如果要证的话基本只有导角一条路可走了，但$EF$和$AX’$的交角理应不难导，于是问题就出在$\measuredangle ASK$上了，那以$S$为顶点的导角有没有好事情呢？注意到$S$恰好是完全四边形$ABCEFU$的密克点，所以本质困难的地方就在于$SK$的定向了。不过幸运地是，我注意到了如下事情：$\measuredangle SDK=\measuredangle SBA=\measuredangle SUK $，所以$S,D,U,K$共圆.

于是乎，设出$AX’$和$EF$的交点$V$，则$\measuredangle AJK=\measuredangle AS’K=-\measuredangle ASK =-\measuredangle ASD+\measuredangle KSD=\measuredangle DX’A+\measuredangle KUD=-\measuredangle AVK$. 这直接说明了$J,V$是关于$AI$对称的.

下面要考虑原来欲证的共圆了，一个简单的想法是直接导角，而难点在于$\measuredangle AVI$，不过好在我们有完全四边形$ABCEFU$中，由$U(AI,VM)=-1=A(UI,VM)$知$M,I,V$共线. 所以

这就推出了要证明的共圆.