2020伊朗TST第二轮P3

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今天早上看到杨丕业老师的公众号更新了2020伊朗TST的翻译,正好武神也在某群里问了一嘴关于第二轮考试的第三题的做法,于是一时手痒便试着做了做这题,题目很长,叙述很复杂,图形有点丑陋,结论也比较难下手,不过好在里面有一个我熟悉的构型,所以最后还是弄出来了。先看一下原题:

(翻译来源:第五十二篇. 2020伊朗TST (全两套)

来配个图 ($M$是$BC$中点).

下面我们来一点一点地看,首先是传统艺能,也就是把$T$的对径点$D$设出来,于是就有$A,K,I,D$和$T,M,D$的共线. 且$DI^2=DB^2=DM\cdot DT$推出$\measuredangle ITM=\measuredangle DIM$.

接下来的问题是怎么处理$X$,这里就用到一个我比较熟悉的手法了,回忆$X_{22}$(切线三角形和重心的圆Ceva三角形的透视中心),我想到了把陪位中线做出来,也就是做出$X$关于$TM$的对称点$DX’$交$BC$于$U$,可以通过$\dfrac{UB}{UC}=\dfrac{X’B}{X’C}\cdot\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{XC}{XB}=\dfrac{AB}{AC}$得到$AT,EF,BC,X’D $共点$U$.

一个相对自然的想法是看看$J$关于$AI$的对称点落在哪,因为它在$AX$上,它的对称点肯定在$AX’$和$EF$的交点啊!那如果要证的话基本只有导角一条路可走了,但$EF$和$AX’$的交角理应不难导,于是问题就出在$\measuredangle ASK$上了,那以$S$为顶点的导角有没有好事情呢?注意到$S$恰好是完全四边形$ABCEFU$的密克点,所以本质困难的地方就在于$SK$的定向了。不过幸运地是,我注意到了如下事情:$\measuredangle SDK=\measuredangle SBA=\measuredangle SUK $,所以$S,D,U,K$共圆.

于是乎,设出$AX’$和$EF$的交点$V$,则$\measuredangle AJK=\measuredangle AS’K=-\measuredangle ASK =-\measuredangle ASD+\measuredangle KSD=\measuredangle DX’A+\measuredangle KUD=-\measuredangle AVK$. 这直接说明了$J,V$是关于$AI$对称的.

下面要考虑原来欲证的共圆了,一个简单的想法是直接导角,而难点在于$\measuredangle AVI$,不过好在我们有完全四边形$ABCEFU$中,由$U(AI,VM)=-1=A(UI,VM)$知$M,I,V$共线. 所以

\[\begin{aligned}&\measuredangle ITX\\=&\measuredangle ITM+\measuredangle DTX\\=&\measuredangle DIM+\measuredangle DAX\\=&\measuredangle AIV+\measuredangle X'AD\\=&\measuredangle X'VI=\measuredangle IJX,\end{aligned}\]

这就推出了要证明的共圆.